FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ ∧ ∧

1.Jeżeli niepusta relacja ρ⊂Χ×Υ, Χ⊂R, Υ⊂R spełnia własność x∈Χ y₁,y₂ ∈Υ (xρy₁ ∧ xρy₂)⇒(y₁=y₂)to relację nazywamy funkcją rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej określoną na zbiorze X i o wartościach ze zbioru Y.

2.Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji lub zmiennymi niezależnymi, zaś dziedziną funkcji nazywamy zbiór

D={x∈Χ, ∨ y=f(x)}

y∈Υ

3.Elementy zbioru Y nazywamy wartościami funkcji lub zmiennymi zależnymi, zaś zbiorem wartości funkcji nazywamy zbiór

P={y∈Υ: ∨ y=f(x)}

x∈D

4.Jeżeli f:X→Y (czyli f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y), to obrazem zbioru A⊂Χ nazywamy

f(A)={y: ∨ y=f(x)}

x∈A

a przeciwobrazem zbioru B⊂Y nazywamy

f ^-1(B)={x: f(x) ∈B}

5.Działania : niech funkcje f,g:X→Y, gdzie X⊂R i Υ⊂R wtedy prawdziwe są równości:

1. ∧ (f+g)(x)=f(x)+g(x)

x∈Χ

2. ∧ (f-g)(x)=f(x)-g(x)

x∈Χ

c) ∧ (fg)(x)=f(x)⋅g(x)

x∈Χ

d) ∧ (f:g)(x)=f(x):g(x)

x∈X∧g(x)≠0

WŁASNOŚCI FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

1.Różnowartościowość (injekcja)

Funkcję f nazywamy różnowartościową, jeżeli dla różnych argumentów funkcja przyjmuje różne wartości

x₁≠x₂ ⇒ f(x₁)≠f(x₂) dla każdegox₁,x₂∈Χ

lub (warunek równoważny), jeżeli z faktu, iż wartości funkcji są równe, wynika że argumenty też są równe

f(x₁₎=f(x₂₎ ⇒x₁=x₂ dla każdego x₁,x₂∈Χ

2.Funkcja na (surjekcja)

Funkcja f:X^(na)→Y odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, jeżeli każdy element zbioru Y jest obrazem pewnego elementu zbioru X

∧ ∨ y=f(x)

y∈Y x∈X

lub (warunek równoważny), jeżeli zbiór Y jest obrazem zbioru X przez odwzorowanie (funkcję) f Y=f(x)

3.Odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne (bijekcja)

Odwzorowanie f:X^(na)→Y jest wzajemnie jednoznaczne, jeżeli f jest odwzorowaniem różnowartościowym (czyli każdy element y∈Y jest obrazem dokładnie jednego elementu x∈X).

Odwzorowanie f:X^(na)→Y jest wzajemnie jednoznaczne wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz jednopunktowego podzbioru zbioru Y jest zbiorem jednopunktowym, czyli gdy

∧ ∨ f ^-1 ({y})={x}

y∈Y x∈X

Bijekcja jest to odwzorowanie, które jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

4.Parzystość

Funkcję f:X→Y, gdzie X jest zbiorem symetrycznym względem 0, nazywamy parzystą, jeżeli

dla każdego x∈Χ f(-x)=f(x)

natomiast funkcja ta jest nieparzysta, jeżeli

dla każdego x∈Χ f(-x)= -f(x)

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, natomiast wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

5.Okresowość

Funkcję f:X→Y nazywamy okresową w dziedzinie X, jeżeli

∨ ∧ x+k∈Χ ∧ f(x)=f(x+k)

k≠0 x∈Χ

Liczbę k nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli k jest okresem funkcji, to n⋅k, n∈C−{0} także jest okresem tej funkcji. Okresem podstawowym nazywamy najmniejszy dodatni okres funkcji.

6.Monotoniczność.

Funkcję f:X→Y nazywamy:

a) ściśle rosnącą, jeżeli ⇔ ∧ [x₁< x₂⇒ f(x₁)< f(x₂)]

x₁,x₂∈Χ

b) ściśle malejącą, jeżeli ⇔ ∧ [x₁< x₂⇒ f(x₁)>f(x₂)]

x₁,x₂∈Χ

c) niemalejącą, jeżeli ⇔ ∧ [x₁< x₂⇒ f(x₁)≤f(x₂)]

x₁,x₂∈Χ

d) nierosnącą, jeżeli ⇔ ∧ [x₁< x₂⇒ f(x₁)≥f(x₂)]

x₁,x₂∈Χ

7.Ograniczoność.

Funkcję f:X→Y nazywamy ograniczoną, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór wartości funkcji f jest ograniczony, tzn. gdy zachodzi

∨ ∧ f(x)≤Μ

M>0 x∈Χ

8.Superpozycja funkcji (funkcje złożone)

Niech dane będą dwie funkcje f:X→Y oraz g:X→ Z, złożeniem tych dwu funkcji lub ich superpozycją (g°f) nazywamy funkcję h:X→Z określoną następująco

h(x)=(g°f)(x)=g(f(x)), x∈X

Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, natomiast funkcję g nazywamy funkcją zewnętrzną funkcji złożonej.

Własności superpozycji:

a) łączność (f °g) ° h = f ° (f °g)

b) na ogół nie zachodzi przemienność f °g ≠ g °f

c) jeżeli funkcje f i g są bijekcjami , to (f °g) ^-1 = g ^-1 ° f ^-1

d) jeżeli funkcja f jest bijekcją, to

∧ ( f ° f ^-1 )(y)=y ∧ ∧ (f ^-1 ° f)(x)=x

y∈Y x∈X

9. Funkcja odwrotna

Funkcję f ^-1:Y→X nazywamy funkcją odwrotną do różnowartościowej w zbiorze X funkcji f:X→Y, jeżeli

y = f(x) ⇔ x = f ^-1(y)

Własności funkcji odwrotnej:

a) ∧ f ^-1 (f(x)) = x

x∈X

b) ∧ f (f ^-1 (y)) = y

y∈f(X)

Funkcje cyklometryczne, czyli odwrotne do funkcji trygonometrycznych

a)y = arcsinx , x ∈ [ -1/2π, 1/2π], dziedziną funkcji arcsinx jest zbiór: [-1,1], natomiast zbiorem wartości jest zbiór

[-1/2π, 1/2π]

b)y = arccosx , x ∈ [0, π ], funkcja ta jest określona na zbiorze [-1,1], natomiast zbiór jej wartości to zbiór [ 0, π]

c)y = arctgx , x ∈ ( -1/2π, 1/2π ), dziedziną funkcji arctgx jest zbiór liczb rzeczywistych, natomiast przeciwdziedziną przedział

(-1/2π, 1/2π )

d)y = arcctgx, x ∈ ( 0, π ), dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, natomiast zbiorem wartości jest zbiór ( 0, π )

Przestrzeń metryczna

Przestrzenią metryczną nazywamy dowolny niepusty zbiór A, w którym każdej parze elementów a,b ∈ A przyporządkowana jest jednoznacznie

liczba rzeczywista d(a,b) zwana odległością punktów a i b lub metryką przestrzeni A oraz liczba ta spełnia następujące warunki

a) ∧ d(a,b) ≥ 0 ∧ d(a,b) = 0 ⇔ a = b

a,b ∈Α

b) ∧ d(a,b) = d(b,a) ( symetria)

a,b ∈Α

c) ∧ d(a,c) + d(c,b) ≥ d(a,b) ( warunek trójkąta)

a,b ∈Α

Przestrzeń metryczną oznaczamy przez (A,d).

Pojęcia topologiczne w przestrzeni metrycznej.

Otoczenie i sąsiedztwo punktu

Kulą otwartą lub otoczeniem punktu x₀∈X o promieniu r>0 nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni metrycznej X, których odległość (metryka) od punktu x₀ jest mniejsza od r.

K(x₀ , r) = {x∈X: d(x,x₀) < r }

Jeżeli z otoczenia punktu x₀ usuniemy ten punkt, to otrzymamy sąsiedztwo punktu x_0.

Punkt wewnętrzny zbioru.

Punkt x₀∈A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A (A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej), jeżeli istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze A, co można zapisać

• K(x₀ , r) ⊂ A

r >0

Zbiór otwarty

Podzbiór A przestrzeni metrycznej nazywamy zbiorem otwartym, jeżeli każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym, tzn. jeżeli każdy punkt zbioru A należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem, czyli spełniony jest warunek

∧ ∨ K(x₀, r) ⊂ Α

x₀ ∈Α r >0

Punkt skupienia zbioru

Punkt x₀ należący lub nie do zbioru A nazywamy punktem skupienia tego zbioru, gdzie zbiór A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni metrycznej, jeżeli do każego sąsiedztwa tego punktu należy co najmniej jeden punkt należący do zbioru A. Oznacza to, że punkt x₀ jest punktem skupienia zbioru A, jeżeli iloczyn zbioru A i zbioru będącego sąsiedztwem punktu x₀ dla każdego promienia r >0 jest zbiorem niepustym, co można zapisać

∧ A ∩ S(x₀, r) ≠ 0

r >0

Zbiór domknięty

Podzbiór A przestrzeni metrycznej nazywamy zbiorem domkniętym, jeżeli do zbioru A należą wszystkie punkty skupienia tego zbioru.

Wnętrze zbioru

Wnętrzem zbioru A (A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej) nazywamy zbiór punktów wewnętrznych tego zbioru A i oznaczamy symbolem Int(A).

Punkt brzegowy i brzeg zbioru.

Punkt x₀ nazywamy punktem brzegowym zbioru A, gdzie zbiór A jest dowolnym podzbiorem przestrzeni metrycznej, jeżeli każde otoczenie tego punktu zawiera punkty należące do zbioru A oraz punkty nie należące do zbioru A.

Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych tego zbioru.

Własności zbiorów w przestrzeni metrycznej:

a)Suma skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

b)Iloczyn skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

c)Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

d)Iloczyn skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

Zbiór ograniczony.

Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym, jeżeli jest on podzbiorem pewnej kuli

K(x₀, r) = { x∈Χ: d(x,x₀) < r }

Zbiór spójny

Otwarty podzbiór A przestrzeni metrycznej Rⁿ jest spójny, jeżeli dla każdej pary punktów a,b∈Α , istnieje krzywa łącząca te punkty, która zawarta jest w zbiorze A.

Obszar

Zbiór otwarty i spójny nazywamy obszarem. Zbiór złożony z obszaru i jego brzegu nazywamy domkniętym.

---