Praca domowa

Temat: Własności wielokątów foremnych.

Aby dokładnie poznać własności wielokątów foremnych należy najpierw zaznajomić się z ich definicją:

Wielokąt foremny - jest to wielokąt , który posiada wszystkie kąty wewnętrzne równej miary i wszystkie boki równej długości.

Już w starożytności znana była konstrukcja wielokąta foremnego przy pomocy cyrkla i linijki, w przypadku, gdy posiadaliśmy długość danego boku lub promienia okręgu opisanego na wielokącie. Liczba boków takiego wielokąta wynosiła 3∙2n, 4∙2n, 5∙2n gdzie n oznacza liczbę naturalną lub 0. W 1801r. wybitny matematyk Carl Friedrich Gauss dowiódł, że konstrukcję taką można wykonać tylko wtedy, gdy liczba boków jest równa m=2ⁿ∙p₁∙p₂∙p₃……p_k, gdzie p₁, p₂,…,p_k są liczbami pierwszymi Gaussa, tzn. liczbami postaci p=2^2r+1 gdzie r jest liczbą naturalną. Znamy na razie pięć przypadków takich liczb: 3, 5, 17, 257, 65337. Konstrukcje tę możemy zatem wykonać dla m=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40…., nie można jej natomiast wykonać dla m= 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19,….Istnieją również wielokąty wklęsłe o bokach równych i przecinających się, gdzie każdy bok następny nachylony jest do poprzedniego pod tym samym kątem i w tym samym kierunku.

Mimo iż poznano już bardzo wiele wielokątów foremnych można wyróżnić ich wspólne cechy. Są to między innymi:

1. Na każdym wielokącie foremnym można opisać i wpisać okrąg; środki tych okręgów są wspólne

2. Kąty w danym wielokącie są równej miary

3. Długości boków w danym wielokącie są równej miary

4. W niektórych przypadkach wielokątów foremnych możemy wyróżnić zarówno wielokąty wypukłe jak i wklęsłe.

Miara kąta wewnętrznego n-kąta foremnego

, gdzie n - liczba kątów w figurze

Poniżej przedstawiam informacje dotyczące wybranych wielokątów foremnych.

I Trójkąt foremny

Trójkąt foremny to trójkąt równoboczny. Posiada on wszystkie boki i kąty równe.

Konstrukcja trójkąta równobocznego

Aby skonstruować trójkąt równoboczny o boku a należy:

1. Wykreślić odcinek AB o długości a

2. Wykreślić okrąg o środku w punkcie A i promieniu a oraz okrąg o środku w punkcie B i promieniu a.

3. Punkty C i D to punkty przecięcia wykreślonych okręgów.

Trójkąty ABC oraz ABD są żądanymi trójkątami równobocznymi.

Własności trójkąta równobocznego:

1. Każde dwa trójkąty foremne są podobne.

2. W trójkącie foremnym wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne, przystające.

3. Trójkąt foremny posiada trzy osie symetrii. Zawierają one wysokości trójkąta.

4. Trojkat foremny nie posiada środka symetrii.

5. W trójkącie równobocznym wysokość jest równocześnie dwusieczną kąta oraz środkową boku.

6. Wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku 1:2

7. Punkt przecięcia wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na trójkącie.

Własności miarowe trójkąta foremnego:

Obwód trójkąta równobocznego wyraża się wzorem L=3a, gdzie L- obwód trójkąta, a-długość boku trójkąta

Pole trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

, gdzie P- pole trójkąta, a- długość boku trójkąta

Uzasadnienie:

P=

Promień okręgu wpisanego w trójkąt

promień okręgu opisanego na trójkącie

II Czworokąt foremny.

Czworokąt foremny to kwadrat. Jest to czworokąt posiadający wszystkie boki równej miary i wszystkie kąty proste.

Konstrukcja kwadratu.

Aby skonstruować kwadrat o boku a należy:

1. Wykreślić prostą l

2. Na prostej wykreślić odcinek AB o długości równej a.

3. Wykreślić okrąg o środku w punkcie A i promieniu a; C - punkt przecięcia prostej l z okręgiem.

4. Wykreślić symetralną k odcinka CB; D - punkt przecięcia okręgu z prostą k.

5. Wykreślić okrąg o środku w punkcie D i promieniu a oraz okrąg o środku w punkcie B i promieniu a; E - punkt przecięcia okręgów.

Czworokąt ABED jest kwadratem o boku równym a.

Własności kwadratu:

1. Każde dwa kwadraty są podobne

2. Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne

3. Kwadrat ma cztery osie symetrii

4. Kwadrat ma środek symetrii znajdujący się w punkcie przecięcia przekątnych

5. Przekątne kwadratu dzielą się na połowy

6. Przekątne kwadratu dzielą się pod kątem prostym

7. Przekątna kwadratu zawiera się w dwusiecznej kąta.

8. Przekątne kwadratu są równej długości

9. Punkt przecięcia się przekątnych wyznacza środek okręgu opisanego i wpisanego w kwadrat.

Własności miarowe kwadratu:

Długość przekątnej kwadratu można obliczyć ze wzoru d=a√2,

gdzie d- długość przekątnej, a- długość boku kwadratu.

Uzasadnienie:

Pole kwadratu wyraża się wzorem:

a)

b)

Uzasadnienie wzoru

Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy:
      
,       a - długość boku kwadratu

Promień okręgu opisanego na kwadracie jest równy:
     
,     d - długość przekątnej kwadratu

III Sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny tworzy sześć trójkątów równobocznych posiadających wspólny jeden wierzchołek (będący środkiem okręgów wpisanego i opisanego na sześciokącie) i parami wspólne boki. Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego dzieli go na dwa przystające trapezy równoramienne. Kąt wewnętrzny sześciokąta ma miarę 120^o.

Konstruując sześciokąt foremny

korzystamy z faktu, że bok

sześciokąta

foremnego wpisanego w okrąg

jest

równy promieniowi tego

okręgu.

Pole sześciokąta foremnego o boku a wyraża się wzorem

,

wynika to z faktu, że sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku a. Z informacji o trójkącie równobocznym zawartych w tej pracy wiadomo, że pole takiego trójkąta jest równe
, zatem pole sześciokąta jest równe
=

IV Ośmiokąt foremny

Ośmiokąt foremny to figura posiadająca osiem jednakowych boków i osiem jednakowych kątów. Jego przekątne przecinają się w

Konstrukcja ośmiokąta foremnego:

1. 
   Konstruujemy dwie proste prostopadłe

przecinające się w środku okręgu

oraz dwusieczne

otrzymanych kątów prostych.

2. Punkty przecięcia tych

prostych z okręgiem są

wierzchołkami ośmiokąta

foremnego.

Wzory na

1. promień okręgu wpisanego

2. promień okręgu opisanego

3. POLE

Danego wielokąta foremnego:

Liczba boków w.f.

Promień okręgu wpisanego

Promień okręgu opisanego

Pole

3

4

5

6

a

7

8

9

10

n

---