Pochodna i jej interpretacja. Elastyczność funkcji.

Pochodna funkcji w punkcie

Punktem wyjścia do określenia pochodnej funkcji jest pojęcie ilorazu różnicowego funkcji.

Jeśli funkcja f jest określona w przedziale (a;b) i x₀ , x₁
(a;b), to różnicę x₁ - x₀ nazywamy przyrostem argumentu od x₀ do x₁ ozancza się to przez h.

Ilorazem różnicowym funkcji f: (a;b)
R odpowiadającym przyrostowi argumentu x₀
(a;b) o liczbę ≠ 0 taką że x₀ +h
(a;b) nazywamy : f '( x₀ ) =

Y Iloraz różnicowy ma prostą interpretacje

B geometryczną. Punkty A i B należą do wykresu

A funkcji f. Prostą AB nazywamy sieczną wykresu

x₀ x₁ X funkcji f. Iloraz różnicowy
jest

równy tangensowi kąta
, jaki tworzy sieczna

AB z osią x .

Pochodna jako funkcja

Mając funkcję f : (a;b)
R oznaczamy przez A zbiór wszystkich argumentów x funkcji f takich że istnieje pochodna funkcji f w punkcie x. Wówczas funkcję, która każdej liczbie x
A przyporządkowuje liczbę f `(x)nazywamy pochodną funkcji f. Dziedziną funkcji f 'jest więc zbiór A

Pochodna i jej interpretacje. Elastyczność funkcji.

Pochodna funkcji jednej zmiennej y=f(x) jest nowa f-cja y` zmiennej x, równa przy każdej wartości x granicy stosunku przyrostu funkcji Δ y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej Δ x, gdy Δ x dąży do zera

F`(x)= lim f(x - Δ x) / Δ x = Δ y / Δ x

Obliczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem funkcji.

Interpretacja geometryczna:

Jeżeli wykresem funkcji y = f(x) jest pewna krzywa, to wartość pochodnej f`(x) w danym punkcie x równa jest tg α gdzie α jest kΉtem między osią OX a styczną do krzywej w danym jej punkcie.

Elastyczność f-cji możemy określić wzorem ε (y,x) = (Δ y / y) / (Δ x / x) = y` *x / y

Elastyczność funkcji informuje o ile procent zmieni się wartość y jeżeli zmienna niezależna wzrośnie o 1 procent.

---