UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO - PRZYRODNICZY

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich

w Bydgoszczy

PODSTAWY DYNAMIKI MASZYN

LABORATORIUM

Paweł Mikuła

Mateusz Siegert

Piotr Erlich

Michał Antczak

Instytut Inżynierii Mechanicznej

Stacjonarne studia 1-go stopnia

Rok II Semestr IV

Grupa B

1.CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest analiza drgań swobodnych układów mechanicznych liniowych o jednym stopniu swobody na który działa siła wymuszająca

2. PODSTAWU TEORETYCZNE

Drgania tłumione (gasnące):

Drgania gasnące są drganiami nieokreślonymi – nigdy nie powtarzają się największe wartości wychylenia, prędkości, przyspieszenia. Dlatego tylko umownie można nazwać częstością kątową – w tym sensie, że wskazuje ona, ile razy w ciągu sekund drgający układ przechodzi przez położenie równowagi.

• Podobnie:

nazwiemy umownym okresem drgań gasnących.

• Siły oporu (tarcia) są zwykle proporcjonalne do prędkości ciała:

• Ogólne równanie drgań tłumionych (straty energii na oporze ośrodka, proporcjonalne do pierwszej pochodnej zmiany położenia):

(dla oscylatora mechanicznego: , )

• Ogólne rozwiązanie w postaci kombinacji liniowej rozwiązań szczegółowych:

gdzie:

Rodzaje rozwiązań:

1. dla oba pierwiastki są rzeczywiste i ujemne, więc rozwiązaniem jest aperiodyczne, wykładnicze malenie x od A do zera;

2. dla występuje tzw. tłumienie krytyczne – jest to minimalna wartość tłumienia, przy której ruch jest aperiodyczny;

3. dla mamy drgania gasnące – oscylacje o zanikającej amplitudzie.

• Ograniczając się do jednego rozwiązania (znak „plus” przy fazie) i pisząc rozwiązanie w postaci funkcji harmonicznej:

- nazywamy amplitudą drgań gasnących;

- to współczynnik tłumienia;

- to częstość własna drgań układu tłumionego;

- to częstość drgań swobodnych układu.

• Współczynnik tłumienia: mówi nam o stosunku kolejnych amplitud drgań gasnących:

• Naturalny logarytm stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń, następujących po sobie w odstępie czasu (umownego okresu) nazywamy dekrementem logarytmicznym tłumienia :

• Oznaczmy przez odstęp czasu, w ciągu którego amplituda drgań zmniejszy się -krotnie. Wtedy:

albo:

czyli: współczynnik tłumienia jest wielkością fizyczną równą odwrotności odstępu czasu , w ciągu którego amplituda zmniejsza się -razy. Czas nazywamy czasem relaksacji.

• Podobnie: gdy przez oznaczymy liczbę drgań, po wykonaniu których amplituda zmaleje -razy, okaże się, że:

czyli: dekrement logarytmiczny tłumienia jest wielkością równą odwrotności liczby drgań, po upływie których amplituda zmniejszy się -razy.

3.WYNIKI POMIARÓW.

Badania przeprowadzone dla belki o przekroju kwadratowym 10,3x10,3 mm.

N= 10 okresów

Długość belki: L₁= 1300mm

Częstotliwość: F=3,94Hz

Amplituda: A₁=3,35 m/s²

A₂= 2,48 m/s²

A₃=1,84 m/s²

Długość belki: L₂= 650 mm

Amplituda: A₁= 17,4 m/s²

A₂=14,6 m/s²

A₃=12,2m/s²

4.OBLICZENIA.

Obliczenia dla belki L₁= 1300mm:

Obliczenia dla belki L₂= 650mm:

5.WNIOSKI.

Podczas ćwiczenia sprawdzającego częstotliwość drgań tłumionych układów mechanicznych liniowych o jednym stopniu swobody zauważyliśmy że podczas zmniejszania długości belki amplituda drgań również maleje.