Pochodną funkcji f(x) w punkcie x₀ nazywamy granicę (o ile istnieje):

$f^{'}(x) = \operatorname{}\frac{f\left( x0 + x \right) - f(x0)}{x}$ = tg(alfa)

<tu powinien byc zajebisty wykres>

Inne zapisy: Df(x0), $\frac{d}{\text{dx}}f(x0)$, $\frac{\text{df}}{\text{dx}}$(x0)

Jeżeli funkcja ma w pkt. A pochodną to mówimy, że jest w tym pkt. różniczkowalna.

f(x) poch. lewostronna

f(x) poch. prawostronna

Reguła de l’ Hospitala, tylko dla $\left\lbrack \frac{0}{0} \right\rbrack$ (1sza reguła) i $\left\lbrack \frac{}{} \right\rbrack$ (2ga reguła)

Zasady:

Jeżeli f i g są różniczkowalne w otoczeniu x₀

Jeżeli f, i g dążą do 0 (∾)

To:

Monotoniczność funkcji

F(a) < f(b)	Rosnąca	F’(x)>0
F(a) <= f(b)	Niemalejąca	F’(x)>=0
F(a) >= f(b)	nierosnąca	F’(x)<=0
F(a) > f(b)	malejąca	F’(x)<0

Jeżeli f nie jest ciągła to badamy ją tylko w przedziałach ciągłości

Ekstrema w funkcji nieliniowej

X<x0	x>x0
+↗	+↗	Rosnąca w całym przedziale
+↗	-↘	X0 maks - ekstremum
-↘	+↗	X0 min - ekstremum
-↘	-↘	Malejąca w całym przedziale

Warunek konieczny ekstremum

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna, i ma w punkcie x0 ekstremum to znika w tym pkt pochodna: f’(x0)=0

Uwaga: pochodna równa 0 w x0 nie oznacza, że w pkt x0 jest extremum, gdyż w punkcie x₀ musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

II pochodna, wypukłość i wklęsłość

Mówimy, że funkcja jest:

Wypukła	$$f\left( \frac{a + b}{2} \right) < \frac{f\left( a \right) + f(b)}{2}$$	F’’>0
Wklęsła	>	F’’<0
Niewklęsła	=>	F’’>0
Niewypukła	=<	F’’>0

w dowolnym przedziale, dla każdych dowolnych 2 pkt. a i b.

Geometrycznie: f. jest np. wypukła, jeżeli wykres funkcji zawartej pomiędzy 2 dowolnymi pkt. a i b leży poniżej siecznej wyznaczonej przez te pkt.

F’’ dla X<x0	F’’ dla x>x0	rezultat
+	+	wypukła
-	+	X0 to punkt infleksji (przegięcia)
+	-	X0 to punkt infleksji (przegięcia)
-	-	wklęsła

Przebieg zmienności funkcji

Argumenty

Wartości

Okresowość
Symetria
Asymptoty
Monotoniczność
Ekstrema
Wypukłość
Infleksja

F(-x)= - f(x) f. nieparzysta (np. sinx)

F(-x)= f(x) f. parzysta (np. cosx)

Tw. Lagrange’a o wartości średniej w funkcji różniczkowalnej.

Jeżeli w przedziale <a;b> funkcja jest różniczkowalna to istnieje w tym przedziale taki punkt K, że

F(b)-f(a)=f’(K)*f(b-a)

Geometrycznie twierdzenie Lagrange'a oznacza, że na łuku będącym wykresem funkcji od punktu do punktu , istnieje taki punkt, w którym styczna jest równoległa do siecznej poprowadzonej między punktami i .

Tw. Rolle

Szczególny przypadek tw. Lagrange’a

Mówi, że funkcja różniczkowalna, która przyjmuje równe wartości w dwóch punktach musi mieć punkt, gdzie nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji jest równe zeru.

j. F(a)=f(b) to f’(K)=0

Tw. Taylora

$$f\left( x \right) = f\left( x_{0} \right) + f^{'}\left( x_{0} \right)(x - x_{0}) + \ldots + \frac{f^{\left( n \right)}x_{0}}{n!}{(x - x_{0})}^{n} + R_{n + 1}f(x)$$

Gdzie R_n+1 = $\frac{f^{n + 1}}{\left( n + 1 \right)!}{(x - x0)}^{n + 1}$ jest to reszta we wzorze Taylora

Szereg Taylora $\sum_{n = 0}^{\infty}{\frac{f^{\left( n \right)}\left( x0 \right)}{n!}{(x - x0)}^{n}}$

Gdy a=0 to jest to wzór Maclaurena:

$$f\left( x \right) = f\left( 0 \right) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \ldots + \frac{f^{(n - 1)}(x0)}{(n - 1)!}{(x - x0)}^{n - 1}$$