Ograniczoność ciągu

Ciąg jest ograniczony z góry jeżeli istnieje takie M że dla każdego n>n₀ : a_n<M.

Ciąg jest ograniczony z dołu jeżeli istnieje takie M że dla każdego n≤n₀ : |a_n|≤M.

Monotoniczność ciągu

- rosnący : a_n<a_n+1

- niemalejący : a_n≤an₊₁

- nierosnący : a_n≥a_n+1

- malejący : a_n>a_n+1

Zbieżność ciągu

Liczbę g nazywa się granicą ciągu (a_n), jeżeli

g= $\frac{\lim}{n \rightarrow \infty}\text{an}$

Ciąg rozbieżny to ciąg, który nie jest zbieżny tzn ciąg który nie ma granicy.

Jeżeli istnieje takie g że dla każdego ε>0 (nieskończenie wiele wyrazów ciągu a_n) d(an;g)<ε to wówczas punkt g jest nazywany punktem skupienia.

Twierdzenie o jednoznaczności

Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.

Twierdzenie o granicy ciągu zbieżnego.

Symbole oznaczone: ∞+∞=∞; |const/0| = ∞; |const/∞|=0.

Symbole nieoznaczone: 0/0; ∞/∞; ∞-∞; 0*∞; 0⁰; 1^∞; ∞^0.

Twierdzenie o podciągu ciągu zbieżnego:

Podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny (do tej samej granicy)

Twierdzenie o 3 ciągach:

Jeżeli dane są trzy ciągi ( a_n ), ( b_n ), ( c_n ) i an = cn = g oraz an <= bn <=cn to bn =g .

Twierdzenie o ciągu rosnącym, ograniczonym z góry (dołu). Ciąg taki jest zbieżny.

Warunek konieczny zbieżności ciągu:

Ciąg zbieżny jest ograniczony ( nie zachodzi twierdzenie odwrotne).

$$\operatorname{}{n^{- n} = \left\lbrack \infty^{- \infty} \right\rbrack = \operatorname{}{\frac{1}{n^{n}} = 0}}$$

Dla a>0 $\operatorname{}{\sqrt[n]{a} = 1}$ Jeżeli a>1: $\sqrt[n]{a} = 1 + a_{n}\text{gdzie\ }a_{n} > 0\ \ \ $

   a = (1+a_n)ⁿ

Wzór dwumianowy Newtona:

Dwumian Newtona wzór zgodnie z którym potęgę dwumianu (x + y)ⁿ można rozwinąć w sumę jednomianów postaci ax^ky^l. W każdym z tych jednomianów współczynnik a jest dodatnią liczbą całkowitą, a wykładniki przy x oraz y sumują się do n. Współczynniki a przy jednomianach są symbolami Newtona i nazywane są współczynnikami dwumianowymi.

Trójkąt Pascala – trójkątna tablica liczb: Na bokach trójkąta znajdują się liczby 1, a pozostałe powstają jako suma dwóch bezpośrednio znajdujących się nad nią. Liczby stojące w n-tym wierszu to kolejne współczynniki dwumianu Newtona - rozwinięcia . Na przykład:

w trzecim wierszu trójkąta mamy 1, 3, 3, 1.

Twierdzenie Bernoulliego o istnieniu liczby Eulera.

Liczba e jest granicą ciągu a_n=(1+ $\frac{1}{n}$)ⁿ

Czyli e=$\frac{\lim}{n \rightarrow \infty}$((1+ $\frac{1}{n}$)ⁿ)

Dowód zbieżności:

Wykażmy że ciąg ((1+ $\frac{1}{n}$)ⁿ)_nEN jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Dla dodatnich liczb x1,x2,…,x_nr1 zachodzi nierówność między ich średnią arytmetyczną a geometryczną.

Nierówność Cauchy'ego:

Ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1,a2…an jest nierosnący. Oznacza to że:

Więc: $\frac{x1 + \ldots + x_{n + 1}}{n + 1} \geq {(x1*\ldots*x_{n + 1})}^{\frac{1}{n + 1}}$

Rozwijając x₁=..x_n=1+1/n oraz x_n+1 otrzymujemy

$$\frac{1 + \frac{1}{n} + \ldots + 1 + \frac{1}{n} + 1}{n + 1} \geq \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)\ldots\left( 1 + \frac{1}{n} \right)*1 \right)^{\frac{1}{n} + 1}\backslash n$$

$$\left( \frac{n + 2}{n + 1} \right)^{n + 1} \geq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$$

A więc również

$$\left( 1 + \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \geq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }a_{n + 1} \geq a_{n}$$

Czyli ciąg jest niemalejący

Połóżmy $b_{n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + 1}\ i\ zauwazamy\ \ ze\ a_{n} \leq b_{n} = \frac{1}{\left( \frac{n}{n + 1} \right)^{n + 1}} = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}}$

Z nierówności zastosowanej do $x_{1} = x_{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ oraz x_n+2=2 otrzymujemy, że

$$\frac{1 - \frac{1}{n + 1} + \ldots + 1 - \frac{1}{n + 1} + 1}{n + 2} \geq \left( \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)\ldots\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)*1 \right)^{\frac{1}{n + 2}}$$

Stąd

$$\left( \frac{n + 1}{n + 2} \right)^{n + 2} \geq \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}$$

A więc również

$$\left( 1 - \frac{1}{n + 2} \right)^{n + 2} \geq \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}$$

Czyli ciąg $\left( \left( 1 = \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1} \right)n\ nalezy\ do\ N$ jest niemalejący

Ponieważ $b_{n} = \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^{n + 1}}$ to możemy wywnioskować, że ciąg b_n jest nierosnacy,  a stad a₁ ≤ a₂ ≤ a_n ≤ b_n < b₂ < b₁

Ciąg a_n jest więc niemalejący i ograniczony z góry np. przez b₁ a więc jest zbieżny.

e ≈ 2, 72

Krzywa łańcuchowa: krzywa płaska opisująca kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej pomiędzy dwiema różnymi podporami w jednorodnym polu grawitacyjnym.

Krzywa jest dana równaniem: y=acosh(x/a)

Coshx=((e^x) + (e^-x))/2 - cosinus hiperboliczny

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci: x=r(t-sint) ; y=r(1-cost).

Ciąg funkcyjny to ciąg, którego elementami są funkcje np.: f0,f1,f2,f3,… lub x,x^2,x^3…

Przedmiotem problemu bazylejskiego w jego pierwotnym brzmieniu było znalezienie dokładnej sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych, tj. sumy szeregu:

Suma ta z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku wynosi 1,644934. Istotą bazylejskiego problemu było jednak znalezienie odpowiedzi na pytanie jaka jest dokładna suma tego szeregu i przeprowadzenie na to odpowiedniego dowodu. Euler w swoim odkryciu ogłoszonym w 1735 stwierdził, że suma ta wynosi π²/6. W ówczesnej argumentacji użył pewnych zabiegów nieuprawnionych wedle wiedzy z tamtego roku; w pełni poprawny w sensie rygorów matematycznych dowód przeprowadził w 1741.