Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

w Olsztynie

WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH

Kierunek: mechatronika

Mateusz Urban

Paweł Szpakowski

Dawid Zboch

Projekt końcowy

Projektowanie regulatora PID

Praca wykonana w ramach przedmiotu Automatyka pod kierunkiem dr Dariusza Wiśniewskiego

Olsztyn, 2016

1. Zadanie projektowe

Zaprojektować regulator PI tak, aby otrzymać przeregulowanie k=20% i maksymalny czas regulacji t_r Układem regulacji jest układ statyczny opisywany wzorem.

$$\text{Go}\left( s \right) = \frac{\text{Ko}}{\left( 1 + sT_{1} \right)(1 + sT_{2})}$$

Powyższy model jest to model dokładny o parametrach Ko=1,7s ; T₁=50s; T₂=80s. W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie uzyskać rzeczywistego wzoru opisującego obiekt badany.
Transmitancja obiektu ma postać analitycznej.

1. Proces projektowania regulatora

Podczas projektowania regulatora będziemy posługiwać się wzorami przybliżonymi opisującymi układ.

$$G\left( s \right) = \frac{K}{\left( 1 + sT1 \right)*\left( 1 + sT2 \right)}\sim\frac{K}{{(1 + sTn)}^{2}}\backslash n$$

$$Goi = \frac{K}{1 + sT_{n}}*e^{- sT_{0}}$$

Tn – czas zastępczy
T₀ – opóźnienie transportowe

Wyliczona transmitancja zastępcza badanego układu:

$$G\left( s \right) = \frac{\text{Ko}}{(1 + sTr)}e^{- sTo} = \frac{1,7}{(1 + s125)}e^{s17,8}$$

Proces przekształcania Transmitancji obiektu, regulatora i całego układu, aby uzyskać nastawy regulacji.

$$Gr = Kp\left( 1 + sTd + \frac{1}{\text{sTi}} \right) = Kp(1 + \left( \frac{\text{sTi}}{4} \right) + \left( \frac{1}{\text{sTi}} \right) = Kp*\frac{\left( 1 + \left( \frac{\text{sTi}}{2} \right) \right)^{2}}{\text{sTi}}$$

Przekształcenie jest możliwe pamiętając, że $\text{Td} = \frac{\text{Ti}}{4}$

Zebrane transmitancje przybliżona obiektu i przekształcona transmitancja regulatora

$$G_{0} = \frac{K}{\left( 1 + sTn \right)^{2}}$$

$$Gr = Kp*\frac{\left( \left( 1 + s*\left( \frac{\text{Ti}}{2} \right) \right)^{2} \right)}{s*TI}$$

Schemat zamkniętego układu obiektu i regulatora

x – sygnał wejściowy
y – sygnał wyjściowy
e – suma sygnału wejściowego i wyjściowego (sprzężenie zwrotne)
u – sygnał po regulacji przez regulator wysyłany do obiektu regulowanego

Transmitancja otwartego układu regulacji

$$G = Gr*Go = Kp*\left( \frac{\left( 1 + s*\frac{\text{Ti}}{2} \right)^{2}}{s}*Ti \right)*\left( \frac{K}{\left( 1 + sTn \right)^{2}} \right) = \frac{K*Kp}{\text{sTi}}$$

Transmitancja zamkniętego układu regulacji

$$Gz = \frac{G}{1 + G} = \frac{\frac{K*Kp}{\text{sTi}}}{1 + \left( \frac{K*Kp}{\text{sTi}} \right)} = \frac{K*Kp}{sTi + \left( Kp*K \right)} = \frac{1}{\frac{\text{Ti}}{Kp*K}*s + 1}$$

Zakładając, że:

$$Tz = \frac{\text{Ti}}{Kp*K}$$

Ostateczna transmitancja układu regulacji zamkniętego jest następująca:

$$Gz = \frac{1}{sTz + 1}$$

Wyznaczenie wzoru, dzięki któremu zakładając czas regulacji(tr) będziemy mogli dobrać współczynnik wzmocnienia regulatora do tego czasu(tr):

tr = 4 * Tz

$$tr = 4*\left( \frac{\text{Ti}}{Kp*K} \right)$$

$$tr = \frac{4Ti}{Kp*K}$$

W kolejnym kroku należy wyznaczyć punkt przegięcia i styczną do wykresu charakterystyki skokowej transmitancji

$$G\left( s \right) = \frac{K}{\left( 1 + sT1 \right)*\left( 1 + sT2 \right)}$$

Aby wyznaczyć punkt przegięcia należy znaleźć punkt o współrzędnych (ho, to), w którym pierwsza pochodna charakterystyki skokowej przyjmuje największą wartość

Wyznaczamy pochodną odpowiedzi skokowej:

ph=diff(h)./diff(t);

Wyznaczamy maksimum pierwszej pochodnej odpowiedzi skokowej:

[a,b]=max(ph);

Następnie wyznaczamy współrzędne punktu przegięcia oraz pochodną odpowiedzi skokowej w punkcie przegięcia:

t₀=t(18);

h₀=h(18);

h_0p=ph(18);

Równanie stycznej do punktu przegięcia to równanie funkcji liniowej f(x)=ax+b, aby wyznaczyć to równanie potrzebujemy współczynnika a, co w tym przypadku oznacza pochodną odpowiedzi skokowej transmitancji G1 w punkcie przegięcia, współczynnika b (to) czyli miejsca przecięcia z osią y, w tym przypadku z osią amplitudy.

Wyznaczamy równanie stycznej i miejsce przecięcia stycznej z osią czasu czyli To-czas opóźnienia regulacji oraz stałą czasową zastępczą

st=hop*(t-t₀)+h₀;

T₀=(h₀-h_0p*t₀)/(-h_0p);

K₀=max(h);

T_z1=[(h₀-h_0p*t₀)-K₀/(-h_0p);

T_z=T_z1-T₀;

plot(t,st,’r’,t,h)

T₀ – czas opóźnienia (po którym następuje regulacja)

K₀ – stan ustalony (maks. amplituda)

Charakterystyka odpowiedzi skokowej i styczna do punktu przegięcia

W kolejnym kroku wyznaczamy pierwiastki biegunów układu otwartego (sx) oraz biegunów układu zamkniętego (sz) oraz rysujemy wykresy przy pomocy funkcji „pzmap” odpowiednio dla układu otwartego (pzmap(G1)) oraz układu zamkniętego (pzmap(Gz1)).

Pierwiastki układu otwartego:

sx=roots([T₁*T₂ T₁+T₂ 1]);

figure;

pzmap(G1)

Po wykreśleniu charakterystyki stwierdzamy, że obiekt jest stabilny, ponieważ wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu otwartego są ujemne.

Pierwiastki bieguna zamkniętego:

sz=roots([T₁*T₂ T₁+T₂ 1+k)];

figure;

pzmap(G_z1)

Obiekt jest stabilny, ponieważ wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu otwartego są ujemne.

Wyznaczanie zapasu stabilności.

Wykorzystujemy do tego komendę margin:

figure;

margin(G₁)

Przy użyciu uprzednio wyznaczonych transmitancji projektujemy regulator „metodą bezpiecznego projektowania regulatora”.

Potrzebne wartości tj. Kp, Ti oraz Gr wprowadzamy z uzyskanych wcześniej obliczeń oraz przypisując znane wartości w postaci równania.

W tym układzie użyjemy regulatora PI przy założeniu, że czasy Ti oraz Tz są sobie równe.

Transmitancja toru głównego-$G = G_{r}*G_{o} = \text{kp}\frac{{(s}^{2}\text{TiTd} + \text{sTi} + 1)}{\text{sTi}}*\frac{\text{ko}}{1 + sT_{i}}e^{- \text{sti}}$

Transmitancja regulatora-$G_{r}\left( s \right) = \text{kp}(\frac{\text{sTi} + s^{2}\text{TiTd} + 1}{\text{sTi}})$

$$G_{r}\left( s \right) = \ kp(\frac{sTi + 1}{\text{sTi}})$$

$$G = G_{r}*G_{o} = kp\left( \frac{1 + sTi}{\text{sTi}} \right)*\frac{\text{Ko}}{1 + sT2}e^{- sTo\ } = \frac{\text{kp}}{\text{sTi}}*k_{o}e^{- sTo}$$

$$G = \frac{kp*ko}{\text{sTi}}*e^{- sTo}$$

Następnie obliczona została transmitancji układu zamkniętego:

$${k = \frac{kp*ko}{\text{Ti}}\backslash n}{G = k*\frac{1}{s}*e^{- sTo}}$$

Opóźnienie transportowe e^−sTo aproksymujemy metodą Pade

$${e^{- sTo} = \frac{- \frac{}{2}*s + 1}{\frac{}{2}*s + 1}\backslash n}{\frac{}{2}*s + 1 - \ przesuwnik\ fazowy;\backslash n}$$

$${G = k*\frac{1}{s}*\frac{- \frac{}{2}*s + 1}{\frac{}{2}*s + 1}\backslash n}{G = \frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\backslash n}$$

Wyznaczenie transmitancji Gz układu zamkniętego:

$${Gz = \frac{G}{1 + G} = \frac{\frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\ |*s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{1 + \frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\ |*s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\backslash n}{Gz = \frac{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}{k\left( - \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right) + s\left( \frac{\text{To}}{2}*s + 1 \right)}\backslash n}{Gz = k*\frac{- \frac{\text{To}}{2}s + k}{\frac{s^{2}\text{To}}{2} + s - \frac{\text{kTo}}{2}s + k}\backslash n}$$

Wyznaczamy Δ

$${b^{2} - 4ac = 0\backslash n}{\left( 1 - \frac{\text{kTo}}{2} \right)^{2} - \frac{4To}{2}*k = 0\backslash n}{1 + \frac{k^{2}To^{2}}{4} - 3kTo = 0\backslash n}{\sqrt{\mathbf{\Delta}} = 2\sqrt{2}\text{To}}$$

$${k_{1} = \frac{3To - 2\sqrt{2}\text{To}}{\frac{\text{To}^{2}}{2}}\backslash n}{k_{2} = \frac{3To + 2\sqrt{2}\text{To}}{\frac{\text{To}^{2}}{2}}\backslash n}{k = 2*\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)*\frac{1}{\text{To}}\backslash n}$$

Charakterystyka skokowa układu zamkniętego z regulatorem PI i bez niego.

Dla lepszego przedstawienia przebiegów, zostały umieszczone na kolejnej stronie.

Ostateczna wersja programu – strona kolejna.