Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Automatyzacji Procesów

Sterowanie dyskretne

Projekt

Układ regulacji położenia taśmy produkcyjnej napędzanej obcowzbudnym silnikiem prądu stałego

Opracowali:

Maciej Kołodyński

Jakub Kleszcz

Temat projektu:

Tematem naszego projektu jest układ regulacji położenia taśmy produkcyjnej napędzanej obcowzbudnym silnikiem prądu stałego o zadanych parametrach. Badane urządzenie to uniwersalna taśma produkcyjna znajdująca się w fabryce. Zasada działania jest następująca: na taśmę wrzucany jest towar wytworzony w fabryce. Taśma wraz z towarem przemieszcza się o odpowiednią odległość i zatrzymuje, gdzie dokonywana jest końcowa kontrola jakości wytworzonego produktu. Po odpowiednim czasie (przeznaczonym na skontrolowanie przedmiotu) taśma ponownie rusza, aż na stanowisku pojawi się kolejny produkt.

Dane silnika:

L = 0.3H - indukcyjność cewki wirnika

R = 0.3Ω - oporność cewki wirnika

J = 0.1 kg*m^2 - bezwładność silnika

D = 1 Nms/rad - tarcie wiskotyczne w łożyskach silnika

km = 1 Nm/A - stała mechaniczna

ke = 10 vs/rad - stała elektryczna

P = 400W - moc silnika

r = 0.1m - promień bębna

m = 100kg - masa towaru

k = 650000 N/m - sprężystość taśmy (materiał: skóra)

B = 10 Ns/m - tarcie wiskotyczne pomiędzy taśmą a podłożem

Model układu

Najpierw zajmijmy się zaprojektowaniem naszego układu w Simulinku. Naszą wielkością wejściową będzie U, czyli napięcie zasilające, a wyjściową przemieszczenie taśmy 𝑥2.

Potrzebne nam będą następujące równania:

U_z=U_R+U_L+E,

U_z − napiecie zasilania

U_R − napiecie na rezystancji

U_L  − napiecie cewce

E - siła elektromotoryczna

Możemy je jednak rozpisać:

$$\omega = \frac{d\theta}{\text{dt}}$$

$$\theta = \frac{x1}{r}$$

$$\omega = \frac{1}{r}*\frac{dx1}{\text{dt}}$$

ω − predkosc katowa silnika

θ − kat o jaki obroci sie beben silnika

x1 − droga na bebnie

Wartości te wstawiamy do równania

$$U_{z} = R*i + L\frac{\text{di}}{\text{dt}} + k_{e}*\frac{1}{r}*\frac{dx1}{\text{dt}}$$

Robimy przekształcenie Laplace'a

$$U_{z} = R*I\left( s \right) + L*s*I\left( s \right) + \ \frac{k_{e}}{r}*s*X1(s)$$

Wyprowadzamy równanie:

$$I\left( s \right) = \frac{U_{z} - \frac{k_{e}}{r}*s*X1(s)}{L*s + R}$$

Następnie tworzymy równanie ruchu dla bębna

$$k_{m}*i = \frac{J}{r\ }*\frac{d^{2\ }x1}{dt^{2}} + \frac{D}{r}*\frac{\text{dx}1}{\text{dt}} - k\left( x2 - x1 \right)*r$$

gdzie

M_s = k_mi

Podobnie jak wcześniej dokonujemy przekształcenia Laplace'a i otrzymujemy

$$X1\left( s \right) = \frac{\frac{k_{m}}{r}*I\left( s \right) + k*X2(s)}{\frac{J}{r^{2}}*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k}$$

Ostatnie równanie to równanie ruchu dla obciążenia, czyli dla masy towaru przewożonego na taśmie

$$m*\frac{d^{2}x2}{dt^{2}} = - k\left( x2 - x1 \right) - \text{mg}\mu$$

Próby wyregulowania układu z uwzględnieniem siły tarcia zakończyły się fiaskiem. Dlatego tarcie ślizgowe zastępujemy tarciem wiskotycznym. I po raz kolejny dokonujemy transformaty Laplace'a i otrzymujemy

$$X2\left( s \right) = \frac{k*X1\left( s \right)}{ms^{2} + \text{Bs} + k}$$

Na mocy powyższych równań tworzymy w simulinku model naszego układu, który przedstawia się następująco

Do wyregulowania układu potrzebujemy jednak transmitancji zastępczej, którą następnie należy zdyskretyzować. Nie będziemy tego robić ręcznie. Posłużymy się programem Matlab.

clc;

clear all;

%%Parametry

V=5;

L=0.3;

R=0.3;

J=0.1;

D=1;

km=1;

ke=10;

P=400;

r=0.1;

m=100;

k=650000;

B=10;

%Transmitancje poszczegolnych bloczkow

G1=tf([km/r],[L R]);

G1;

G2=tf([1],[J/r^2 D/r^2 k]);

G2;

G3=tf([k],[m B k])

G3;

G4=tf([k],[1]);

G4;

G5=tf([ke/r 0],[1]);

G5;

G6=1/G3

%Transmitancja zastepcza

G23=series(G2,G3);

G23s=feedback(G23,G4,1);

Gg=series(G1,G23s);

Gp=series(G5,G6);

Gz=feedback(Gg,Gp,-1)

%Transmitancja dyskretna

Gzd=c2d(Gz,0.01,'zoh')

[ld,md]=tfdata(Gzd,'v');

Otrzymana transmitancja zastępcza:

Gz =

4.225e12

---------------------------------------------------------------------

1.95e08 s^5 + 2.164e09 s^4 + 1.401e13 s^3 + 2.789e13 s^2 + 4.364e14 s

Oraz dyskretna:

Gzd =

1.5e-08 z^4 + 2.634e-07 z^3 + 5.385e-07 z^2 + 2.515e-07 z + 1.389e-08

---------------------------------------------------------------------

z^5 - 1.267 z^4 - 1.221 z^3 + 1.36 z^2 + 1.023 z - 0.8949

Próby regulacji układu

1) REGULATOR PID

Schemat w simulinku

PORÓWNANIE POŁOŻENIA ZADANEGO I RZECZYWISTEGO

CZAS [s]

WYKRES PRĘDKOŚCI TAŚMY

CZAS [s]

WYKRES PRZYSPIESZENIA

CZAS [S]

Pierwszym zastosowanym przez nas regulatorem był regulator PID. Mamy kilka sposobów dobrania nastaw regulatora. Na początku zastosowaliśmy metodę Zieglera-Nicholsa. Nie przyniosła ona jednak pożądanych skutków. Próbowaliśmy również zastosować gotowy bloczek PID i dobrać nastawy za pomocą funkcji Auto-tune dostępnej w simulinku. Metoda okazała się jednak jeszcze gorsza niż dobieranie parametrów metodą Zieglera-Nicholsa. Dlatego też byliśmy zmuszeni dobrać nastawy regulatorów doświadczalnie. Oto dobrane parametry:

P = 100

I = 0.02

D = 1

Efekt można zaobserwować na powyższych wykresach. Jesteśmy zadowoleni co do regulacji położenia. Zadane położenie osiągamy bardzo szybko i niemalże bez problemów. Gorzej jest jednak z prędkościami i przyspieszeniami. Na wykresie prędkości zauważamy nadmierne oscylacje. Prędkość cały czas "skacze" i nie osiąga danej wartości.

2) Regulator czasooptymalny

Schemat w simulinku

PORÓWNANIE POŁOŻENIA ZADANEGO I RZECZYWISTEGO

CZAS [S]

WYKRES PRĘDKOŚCI

WYKRES PRZYSPIESZENIA

Następnie zbadaliśmy zachowanie układu przy zastosowaniu regulatora czasooptymalnego. Widać, że położenie reguluje się trochę wolniej ni przy zastosowaniu regulatora PID. Ponadto w momencie zatrzymania taśmy produkcyjnej zauważamy minimalny uchyb, którego nie było w przypadku regulatora PID. O wiele lepiej wygląda jednak wykres prędkości i przyspieszenia. Tym razem nie oscyluje on w nieskończoność. W momencie ruszenia taśmy prędkość ustala się po około 5 sekundach, a w momencie zatrzymania taśmy jeszcze szybciej - potrzeba około 3 sekundy. Za tym idzie uzyskanie o wiele lepszych przyspieszeń taśmy.

3) Odporny układ regulacji

PORÓWNANIE POŁOŻENIA ZADANEGO I RZECZYWISTEGO

CZAS [s]

WYKRES PRĘDKOŚCI

CZAS [s]

WYKRES PRZYSPIESZENIA

CZAS [s]

Odporny układ regulacji to ostatni z regulatorów, którego działanie postanowiliśmy przetestować. Jeśli chodzi o położenie, to czas regulacji jest nieco dłuższy w porównaniu poprzednimi dwoma układami. Ponadto w położeniu ustalonym (kiedy taśma powinna się zatrzymać) zauważamy lekkie zakłócenia. Niekontrolowany ruch układu w tym położeniu sprawia, iż nie jesteśmy zadowoleni z wyników działania takiego regulatora. Układ zachowuje się prawidłowo w momencie, gdy taśma jest w ruchu. Prędkość ustala sie szybko i układ pracuje praktycznie bez zakłóceń.

WNIOSKI

Przedmiotem naszych badań był układ regulacji położenia taśmy produkcyjnej. Zbadaliśmy działanie trzech regulatorów zaprojektowanych za pomocą programu Simulink.

Pierwszym z zastosowanych regulatorów był regulator PID. Z wyregulowaniem położenia poradził sobie znakomicie, jednak dopiero po dobraniu jego parametrów doświadczalnie. Parametry dobrane metodą Zieglera-Nicholsa nie dały pożądanego skutku. Podobnie było przy zastosowaniu funkcji Auto Tune. O wiele gorzej wypadło jednak uregulowanie prędkości. Na wykresie zauważamy nadmierne oscylacje, wartość prędkości nie ulega regulacji.

Odporny układ regulacji wypadł lepiej niż regulator PID. Prędkość ustala się bardzo i nie zauważamy tak wielkich oscylacji. Problem jednak pojawia się, kiedy taśma się zatrzymuje. Zauważamy niekontrolowany skok prędkości i przyspieszenia, co minimalnie wpływa na położenie (nagłe odchylenie w jedną i drugą stronę). Ze względu na to zjawisko efekt działania regulatora nie jest satysfakcjonujący.

Podczas naszych badań zdecydowanie najlepiej wypadł regulator czasooptymalny. Prędkość ustala się co prawda wolniej, niż w przypadku układu odpornego. Nie ma jednak niekontrolowanych ruchów taśmy. Działanie regulatora czasooptymalnego uznajemy za najbardziej satysfakcjonujące.