WIELOMIANY (N.E)

1. Punkty P(1, a), Q(-1, b), R(2, c), S(3, d) należą do wykresu wielomianu w(x) = x⁴ - $\frac{3}{2}$x³ - $\frac{11}{2}$x² + 3x + 4. Wyznacz a, b, c, d.

2. Wyznacz współczynnik a wielomianu w, jeśli:

1. w(x) = ax² + x + 1, w(1) = 3

2. w(x) = 3x³ – x² + a, w(3) = 0

3. w(x) = x³ + ax² + 3, w(-4) = 3

4. w(x) = ax⁴ + 4x + 2, w(2) = -6

1. Uporządkuj wielomiany u i w. Wyznacz ich sumę u + w i różnicę u – w.

1. u(x) = x³ – x + 2x⁴ – 1, w(x) = 4 – x³ + 3x² + x⁴

2. u(x) = -2x² + 4x – x⁶ + 2, w(x) = -5x + 3x² + x⁶ – 3x⁵

3. u(x) = 3x⁴ + 2x⁷ – 5 + 4x, w(x) = -3x + x⁵ – 2x⁷ + 2

1. Wyznacz wielomian w(x) = 2f(x) – 3g(x). Podaj stopień wielomianu oraz sumę współczynników otrzymanego wielomianu.

1. f(x) = x⁵ + $\frac{1}{2}$x² + 3, g(x) = -2x⁴ + $\frac{x^{2}}{3}$ + 1

2. f(x) = 3x⁵ + 6x³ – 2x + 1, g(x) = 2x⁵ + 4x³ – x² + 4

1. Dane są wielomiany u(x) = 2x⁴ + x² – 1 i v(x) = x⁴ – 2x² + 2. wyznacz wielomian w.

1. w(x) = 2u(x) + v(x)

2. w(x) = 2u9x) – 4v(x)

3. w(x) = 3u(x) - $\frac{1}{2}$v(x)

4. w(x) = $\frac{1}{2}$u(x) + $\frac{3}{4}$v(x)

1. Wyznacz iloczyn. Podaj współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny otrzymanego wielomianu.

1. 2x²( x³ – 3x² + 7x + 2)

2. (x + 2)(4x² – 3x + 4)

3. (x² - $\frac{1}{2}$)(2x⁴ – x + 1)

4. (6 – 3x² – 2x³)(x³ – 4)

5. (2x³ + $\frac{1}{2}$x + 1)(x² – x - $\frac{1}{4}$)

6. (2 - $\sqrt{2}$x² – x⁴)($\sqrt{2}$ + x + 4x²)

1. Wyznacz wielomianu f(x) = u(x) * w(x) oraz g(x) = [u(x)]² – w(x).

1. u(x) = x² + 3x – 1, w(x) = x⁴ – 6x³ – 2x²

2. u(x) = x⁴ – x² + 1, w(x) = -6x³ + 2x² – 1

3. u(x) = x³ – x² + x + 1, w(x) = 3x² – 2x + 1

1. Dla jakich parametrów m i n wielomianu u i w mają te same współczynniki przy odpowiednich potęgach?

1. u(x) = (x² – 3x + 1) (x² + 4x), w(x) = x⁴ +mx³ + nx² + 4x

2. u(x) = (4 + x² – 2x⁴)(2x² – x + 1), w(x) = -4x⁶ + 2x⁵ +mx⁴ – x³ + nx² – 4x + 4

3. u(x) = (x³ + 2x)(x² – 2x⁴), w(x) =( m + 1)x⁷ + (2n – 1) x⁵ + 2x³

1. Wyznacz iloczyn

1. (2x²y + 3xy²)(x – y – 4)

2. (x + y)(x – 2y)(x – xy + y²)

3. (x + y)(x² + y²)(x³ + y³)

4. ($\sqrt{2}$x - $\sqrt{3}$y)(2x² + $\sqrt{6}$xy + 3y²)

1. Zapisz wielomian w postaci sumy.

1. (1 – 2x)³

2. (5x + 1)³

3. (x - $\sqrt{2}$) ³

4. (x + 2)²(x² – 2x + 4)

5. (3x – 1)²(9x² + 3x + 1)

6. (x² + 5x + 25)(x – 5)²

7. (x + 2)(x² + 4)(x – 2)

8. (x – 1)(x² + x + 1)(x³ + 1)

9. (x + 2)(x⁴ + 4x² + 16)(x – 2)

1. Wyłącz przed nawias wskazany czynnik. Sprawdź, czy otrzymany w nawiasie trójmian kwadratowy rozkłada się na czynniki liniowe. Jeśli tak, to podaj rozkład wielomianu w na czynniki liniowe.

1. w(x) = x⁵ – 2x⁴ + 5x³, x³

2. w(x) = x⁴ – x³ – 6x², x²

3. w(x) = 2x⁶ – 4x⁵ + 2x⁴, 2x⁴

4. w(x) = 6x⁴ + 3x³ – 3x², 3x²

5. w(x) = 6x³ – 15x² + 9x, 3x

6. w(x) = $\frac{3}{4}$x⁵ - $\frac{5}{4}$x⁴ - $\frac{1}{2}$x³, $\frac{1}{4}$x³

1. Rozłóż wielomian w na czynniki, grupując jego wyrazy

1. w(x) = x⁴+ 2x³ – 8x – 16

2. w(x) = 14x³ – 7x² + 4x – 2

3. w(x) = 2x³ – 6x² + 5x – 15

4. w(x) = x⁴ – 3x³ + x – 3

5. w(x) = $\frac{1}{2}$x³ - $\frac{1}{6}$x² – 3x + 1

6. w(x) = $\frac{2}{3}$x³ – 3x² – 6x + 27

7. w(x) = x³ - $\sqrt{2}$x² + $\sqrt{2}$x – 2

8. w(x) = x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1

1. Wyznacz iloczyn, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

1. (1 + 2x)(1 – 2x)

2. (3x² – 1)²

3. (x + $\frac{1}{3}$)³

4. (1 – 2x)³

5. (1 – x)(1 + x)(1 + x²)

6. ($\sqrt{2}$x – 1)(2x² – 1)($\sqrt{2}$x + 1)

7. (2x + 1)(4x² – 2x + 1)

8. (x – 2)(x² + 2x + 4)(x³ + 8)

1. Rozwiąż równanie.

1. x⁵ – 2x³ + x = 0

2. x³ + 3x² + 2x = 0

3. x⁴ + 4x³ + 5x²

4. 6x³ + 9x² = 3x⁴

5. 2x⁵ = 2x⁴ + 12x³

6. 10x⁴ + x³ = 2x²

7. 9x⁶ + 6x⁵ + x⁴ = 0

8. x⁵ + 4x⁴ = 12x³

9. x³ + 4x = -5x²

10. - $\frac{1}{2}$x⁴ + x³ = $\frac{1}{2}x$²

11. 18x⁵ = x⁷ + 3x⁶

12. 16x⁷ + 8x⁵ + x³ = 0

1. Dla jakiej wartości parametru m liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w?

1. w(x) = -3x³ + 2x² + mx – 3, a= -1

2. w(x) = x³ + (2m – 1)x² – 3x + 7, a = 2

3. w(x) = -x² + mx² – mx + 5, a = 3

4. w(x) = x³ + 3x² + (m² – 2m)x + 2, a = -2

1. Rozłóż wielomian w na czynniki i podaj jego pierwiastki.

1. w(x) = 5x⁵ – 10x³ + 5x

2. w(x) = -3x⁵ + 30x³ – 75x

3. w(x) = 32x⁶ – 16x⁴ + 2x²

4. w(x) = 125x³ – 27

5. w(x) = 8x⁴ + 27x

6. w(x) = -14x³ + 7x