DEFINICJE: Wykład 1: Metryka-Niech X będzie dowolnym zb. metryką w zb. X nazywamy funkcje d:XxX→ℝ spełniającą warunki: 1. d(x,y)≥0 jeśli d(x,y)=0 ⇔x=y 2. d(x,y)=d(x,y) (symetryczność) 3. d(x,y)+d(y,z)≥d(x,z) Metryka jest uogólnieniem odległości punktów. Przykłady: 1.”zwykła” metryka w R: d(x,y)=|x-y|-zb. R z tą metryką nazywamy prostą Euklides. 2. metryka euklidesowa (w zb. R^2 ) d0((x1,x2),(y1,y2))=$\sqrt{{(x}_{1} - y_{1}) + \left( x_{2} - y_{1} \right)^{2}}$-przestrzeń euklidesowa. 3.Metryka „dyskretna w zb. X d(x,y)=$\left\{ \begin{matrix} 0\ jesli\ x = y \\ 1\ jesli\ x \neq y \\ \end{matrix} \right.\ $ 4. Metryka maksimum-taksówkowa 5. Metryka koleji we Francji 6. Metryka rzeka Przestrzenią metryczną-zb X z ustaloną metryką d i oznaczamy (X,d). Elementy zb.X nazywamy punktami. Metryka indukowana-Jeśli (X,d) jest przestrzenią metryczną i Y ⊂ X,to definiujemy metrykę indukowaną d1 przez metrykę d. Wtedy (Y,d1) jest przestrzenią metryczną podprzestrzenią przestrzeni (X,d) Średnica-dana jest przestrzeń metryczna (X,d). średnicą zbioru niepustego A⊂X nazywamy „liczbę” Sup{d(x,y):x,yЄA}. Oznaczamy diam(A). Kulą o środku xЄX i promieniu r>0, xЄR, nazywamy zbiór B(x,r)={yЄX:d(x,y)<r} (w R jest to prosta, w R^2 to kolo bez brzegu) Wykład 2: Ciąg Zbieżny- ciąg xn jest zbieżny do punktu x0 jeśli: ∀ε > 0 ∃N ∀n > N d(xn,x0)<ε. Piszemy że xn→x0, xn = x0 Punkt skupienia- punkt x0 nazywamy punktem skupienia zbioru A jeśli istnieje ciąg punktow anЄA, takich że an→x0 i an≠x0. Punkt x0 nie musi należeć do zb A. x0ЄX jest punktem skupienia zb A jeśli istnieje ciąg anЄA, an≠x0, an→x0. Punkt izolowany- punkt który należy do zb A i nie jest punktem skupienia zb A nazywamy punktem izolowanym zb A (nic się do niego nie zbliża) Podciąg ciągu-Jeśli 0<k1<k2… jest ciągiem rosnącym a xnЄX jest ciągiem punktów X to yn=Xkn nazywamy podciągiem ciągu xn. Punkt wewnętrzny-punkt a jest punktem wewnętrznym zbioru A jeśli kula B(a,r) zawarta w zbiorze A (czyli istnieje promień r, że kula jest zawarta w zb A) Zbiór A jest otwarty jeśli każdy punkt zbioru A jest punktem wewnętrznym zb A. Zbiór A jest domknięty jeśli zawiera wszystkie swoje punkty skupienia (A⊃A’) Pochodna zb A-Zbiór punktów skupienia zb A, ozn A’. Wnętrze zb A- Zb punktów wewnętrznych zb A, oznaczamy Int(A). Wykład 3: Domknięciem zb A nazywamy zb.Ā=A∪A′ Punkt brzegowy- punkt x0 jest p brzegowym zb A jeśli każda kula B(x0,r) zawiera punkty należące do A i zawiera punkty należące do X-A. Brzeg zb A-zbiór punktów brzegowych zb A i oznaczamy ∂A=Bd(A) Punkt graniczny- punkt x0 jest granicznym zbioru A jeśli istnieje anЄA, an→x0. Wykład 4: Zb gęsty- Zbiór A⊂X nazywamy gęstym jeśli Ā=X Zbiór A⊂X jest gęsty jeśli każda kula w X zawiera punkt zbioru A. Zb brzegowy- Zbiór B⊂X nazywamy brzegowym jeśli X-B jest gęsty. Więc zb B jest brzegowy jeśli każda kula zawiera punkt z X-B, czyli B niezawiera żadnej kuli. Zb nigdzie-gęsty-Zbiór B nazywamy	Nigdzie-gęstym jeśli B jest brzegowe. W szczególności każdy zb brzegowy i domknięty jest nigdzie-gęsty. Funkcje Funkcja-ze zbioru X1 w zbiór X2 jest to przyporządkowanie każdemu punktowi zbioru X1, pewnego (jednego) punktu zbioru X2. obraz- Jeśli A⊂X1 to obrazem zb A nazywamy zbiór f(A)={f(a): aЄA}⊂X2 f(a) nazywamy wartością funkcji f w punkcie a lub obrazem punktu a. Jeśli B⊂X2 to przeciwobrazem zb B nazywamy zbiór f^-1(B)={xЄX1: f(x)ЄB} Złożenie funkcji- Jeśli f:X1→X2, g:X2→X3 funkcje to można określić ich złożenie (superpozycje) (g∘f):X1→X3, (g∘f)(x)=g(f(x)) Jeśli B⊂X3 to (g∘f)^-1(B)=f^-1(g^-1(B)) Obcięcie funkcji- jeśli f: X1→X2 i A⊂X1 można określić nową funkcję f|A=f1:A→X2 Wykład 5: (F ciągła, zbieżność, jednostajność) Funkcja ciągła- niech (X1,d1) (X2,d2) przestrzenie metryczne, i niech f:X1→X2 funkcja. F jest funkcją ciągłą w punkcie x0ЄX1 jeśli dla każdego ciągu xnЄX1, xn→x0 ciąg wartości f(xn)→f(x0). f jest ciągła jeśli jest ciągła w każdym punkcie xЄX1. F jest ciągła w x0 jeśli ∀ε > 0 ∃δ > 0 [d(x,x0)<δ=>[d(f(x),f(x0))<ε] F jest ciągła w x0 jeśli dla każdej kuli B(f(x0),ε) punkt x0 należy do wnętrza f^-1(B(f(x0),ε)) F jest ciągła jeśli dla każdego zb otwartego A⊂X2 zbiór f^-1(A) jest otwarty w X1. F ciągła jednostajnie- niech f:A→R, Ø≠BcA. Funkcja f jest ciągła jednostajnie na zbiorze B jeśli spełniony jest warunek: ∀ε > 0∃δ > 0∀x ∈ B∀y ∈ Bd1(x,y) < δ = >d2(f(x),f(y)) < ε. homeomorfizm-funkcja f jest homeomorfizmem jeśli jest bijekcją i f jest ciągła i funkcja f^-1:X2→X1 też jest ciągła. Metryki równoważne-dwie metryki d1 i d2 w tym samym zbiorze X są równoważne gdy każdy zbiór otwarty w (X,d1) jest otwarty w (X,d2) i odwrotnie. f ograniczona-Niech (X,d1)i (Y,d2) funkcja f:X→Y jest ograniczona jeśli f(X) jest zb ograniczonym. Ciąg f ograniczonych- punktami przestrzeni B(X,Y) są funkcje ograniczone. Ciąg punktów fn przestrzeni B(X,Y) nazywamu ciągiem f ograniczonych. Ciąg ograniczony- Ciąg {an} jest ograniczony: ∃α > 0∀n ∈ N|xn| ≤ α. Ciąg zbieżny-Ciąg {an} jest zbieżny ∀ε > 0∃N∀n > Nd(xn,x0) < ε. Zbieżność jednostajna- jeśli ciąg punktów fn przestrzeni B(X,Y) jest zbieżny do punktu f0, to mówimy że ciąg funkcji fn(x) jest zbieżny jednostajnie do f0(x). Dla każdego ε>0 istnieje N dla każdego n>N d(fn,f0)<ε Dla każdego ε>0 istnieje N dla każdego n>N Sup{d2(fn(x),f0(x)):xЄX}<ε Dla każdego ε>0 istnieje N dla każdego n>N dla każdego xЄX d2(fn(x), f0(x))<ε => dla każdego x, dla każdego ε>0 istnieje N dla każdego n>N d2(fn(x),f0(x))<ε. Zbiór ograniczony- Zbiór A jest ograniczony jeżeli istnieje kula B(x,r) zawierająca A.	Wykład 6:(odległości, przestrzeń zupełna) Odległość punktu od zbioru-Niech (X,d) p metryczna, AcX, odległość x od zbioru A: d(x,A)=inf{d(x,a):aЄA}. Odległość zbiorów- niech (X,d) p metryczna i A,BcX. Odległość zbiorów A i B d(A,B)=inf{d(a,b):aЄA,bЄB} Ciąg Cauchy-(X,d) przestrzeń metryczna. Ciąg xnЄX jest ciągiem Cauchy’ego jeśli ∀ε > 0∃N∀k, l ≥ N d(xk,xl) < ε. Przestrzeń zupełna- Przestrzeń (X,d) nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Cauchy w X jest zbieżny.