ćw. nr: 18	Badanie drgań wahadła sprężynowego	Data: 6.05.13
	Piotr Urbański	Ocena:

1.Wprowadzenie

Ruch harmoniczny między innymi obserwuje się w przypadku wahadła matematycznego, gdzie drgania odbywają się pod wpływem składowej siły ciężkości. Drgania harmoniczne mogą odbywać się pod wpływem siły sprężystości, co obserwujemy na przykładzie wahadła sprężynowego. Wahadło te stanowi swobodnie zwisająca sprężyna obciążona na końcu masą m. Zgodnie z prawem Hooke’a dla odkształceń sprężystych mamy zależność:

F = −kx

gdzie:

k – współczynnik sprężystości sprężyny,

x – wydłużenie sprężyny.

F = −mω²x

stąd:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Ruch drgający prosty – taki ruch drgający, w którym siła, która go powoduje, jest wprost proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi.

W ruchu drgającym prostym wartość siły jest więc zmienna (proporcjonalna do wychylenia). Z tego wynika, że i wartość przyspieszenia w tym ruchu jest też zmienna – wprost proporcjonalna do wychylenia (ponieważ masa ciała jest stała).

2.Obliczenia:

a) okres drgań

$$\mathbf{T}\mathbf{=}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{n}}$$

t – czas 50 drgań

n – liczba drgań (50)

T1 =  0,89 s
T2 =  0,99 s
T3 =  1,08 s
T4 =  1,21 s
T5 =  1,27 s
T6 =  1,35 s
T7 =  1,45 s
T8 =  1,50 s
T9 =  1,57 s
T10 =  1,63 s
T11 =  1,69 s

b) siła F

F=m*g

F1 =  2,072 N
F2 =  2,403 N
F3 =  2,733 N
F4 =  3,063 N
F5 =  3,481 N
F6 =  3,723 N
F7 =  4,054 N
F8 =  4,385 N
F9 =  4,716 N
F10 =  5,047N
F11 =  5,378N

c) masa płytek + masa szalki

m1= 0,08118 kg
m2= 0,11493 kg
m3 =     0,14859 kg
m4= 0,18223 kg
m5= 0,22484 kg
m6= 0,24952 kg
m7= 0,28323 kg
m8= 0,31697 kg
m9= 0,35073 kg
m10= 0,38443 kg
m11= 0,41826 kg

d) współczynnik sprężystości [k]

k_sr = 6, 31

$$\mathbf{k}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}\left( \mathbf{m}\mathbf{+ \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{m}_{\mathbf{s}} \right)$$

k1 =  6,23
k2 =  6,38
k3 =  6,46
k4 =  6,03
k5 =  6,52
k6 =  6,32
k7 =  6,10
k8 =  6,31
k9 =  6,34
k10 =  6,36
k11 =  6,36

Niepewności

Niepewność standardowa u(x):

$${\ u}_{B}\left( x \right) = \ \sqrt{\frac{{(_{e}x)}^{2} + {(_{d}x)}^{2}}{3}}$$

_d(x) = 1 mm

_e(x) = 3 mm

u_B(x)= 1,9 mm = 0,0019 m

Niepewność standardowa u(T):

u_B(T)= 0,26 s

_d(T) = 0,2 s

_e(T) = 0,4 s

Niepewność masy

u(m) = 0,01 g = 0,00001 kg

Złożona niepewność standardowa u(F):

$$\text{\ u}\left( y \right) = \ \frac{\text{dy}}{\text{dx}}*u(x)$$

$$u\left( F \right) = \ \frac{d(F)}{d(m)}*u(m)$$

F = m * g

u(F) =  g * u(m)

u(F) = 9, 81 * 0, 01 = 0,0000981 N

Złożona niepewność standardowa u(k) wyznaczona z wzoru:

$$u\left( k \right) = \ \sqrt{\left( \frac{{4\pi}^{2}*2*\left( m + \frac{1}{3}m_{s} \right)}{T^{3}} \right)^{2}*u^{2}\left( T \right) + \ \left( \frac{{4\pi}^{2}*\ \frac{1}{3}m_{s}}{T^{2}} \right)^{2}*\ u^{2}\left( m \right)}$$

u(k)= 0,036552
u(k)= 0,033554
u(k)= 0,031065
u(k)= 0,025815
u(k)= 0,026602
u(k)= 0,024308
u(k)= 0,021822
u(k)= 0,021868
u(k)= 0,021054
u(k)= 0,020305
u(k)= 0,019526

u(k)_sr=0,0258

Złożona niepewność standardowa u(k) wyznaczona z wykresu:

odchylenie standardowe

współczynnika nachylenja prostej

a (σ_a) = 0,001486

u(a) = 0, 001242 N/m

a = 0,159

$u\left( k \right) = \ \frac{d(k)}{d(a)}*u(a)$ k= 1/a

$$u\left( k \right) = \ \left| \frac{- 1}{a^{2}} \right|*u(a)$$

u(k) = 0, 049 N/m

Porównanie wyników przy pomocy niepewności rozszerzonej:

$$U\left( x_{1} \land \ x_{2} \right) = \ k\sqrt{u{(x_{1})}^{2} + \ u{(x_{2})}^{2}}$$

|x₁− x₂| < U

x₁ = 6,31 N/m

x₂ = 6,29 N/m

u(x₁) = 0,049 N/m

u(x₂) = 0,0258 N/m

k (współczynnik rozszerzenia) = 2

U = 0,111 N/m

|x₁− x₂|₌ 0,02 N/m

3.Wykres zależności wydłużenia sprężyny od siły.

Współczynnik kierunkowy prostej odczytany z wykresu x = f(F):

a  =  0, 159

a = 1/k

k = 1/a

k = 6, 29

4.Wnioski:

Doświadczenie polegało na badaniu drgań wahadła sprężynowego, poprzez wychylenie go z położenia równowagi oraz obliczenie współczynnika sprężystości k, który jest równy co do wartości sile powodującej jednostkowe wychylenie. Wyliczone współczynniki sprężystości obiema metodami dało bardzo zbliżone do siebie wyniki

Na podstawie zebranych danych można stwierdzić że prostoliniowość wykresu oraz współczynnik korelacji potwierdza prawo Hooke’a