Politechnika Wrocławska

Instytut Metrologii Elektrycznej

Laboratorium Miernictwa Elektronicznego

Temat: Statystyczna ocena wyników pomiarów.

Pomiary wymiarów liniowych trójkątów.

Prowadzący: dr Grażyna Dacko

Wykonał: Tomasz Majchrowski Wydział: Elektroniki Rok Studiów: I Grupa: III

Wrocław 18 marca 1999

I. CEL ĆWICZENIA.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie ze statystyczną analizą wyników pomiarów, a w szczególności: sposobami znajdowania i eliminacji wyników pomiarów obarczonych “błędami grubymi”, wyznaczania i analizy składowej przypadkowej oraz składowej systematycznej błędów pomiarów.

II. PROGRAM ĆWICZENIA.

1. Pomiary wymiarów liniowych trójkątów, a, b, c, h_a , h_b , h_c .

2. Rejestracja i przetwarzanie danych pomiarowych.

3. Analiza wyników pomiarów.

III. UŻYTE PRZYRZĄDY I ICH PARAMETRY METROLOGICZNE.

Suwmiarka elektroniczna z wyświetlaczem LCD o parametrach metrologicznych:

- rozdzielczość 0,01mm,

• błąd graniczny 0,03mm.

IV. ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW.

1.Tabela wyników dla trójkąta nr.3.

Tabela 1.1. Pomiary boków i wysokości trójkąta nr.3..

Lp.	A [mm]	B [mm]	C [mm]	ha [mm]	hb [mm]	hc [mm]
1.	95,85	85,59	75,94	64,86	72,58	81,79
2.	95,90	85,64	75,97	64,87	72,60	81,74
3.	95,92	85,66	75,98	64,85	72,57	81,89
4.	95,93	85,64	75,98	64,87	72,60	81,89
5.	95,91	85,67	75,97	64,86	72,59	81,88
6.	95,87	85,66	75,98	65,01	72,04	81,83
7.	95,70	85,60	75,94	64,04	72,02	81,06
8.	95,88	85,65	75,94	64,85	72,56	81,84
9.	95,88	84,58	75,92	64,81	72,55	81,85
10.	95,92	85,62	75,92	64,89	72,59	81,82
m^1)	95,876	85,531	75,954	64,791	72,470	81,759
s^2)	0,0669	0,3352	0,0246	0,2690	0,2325	0,2500

*a,b,c- boki trójkąta, ha,hb,hc – wysokości prostopadłe do odpowiednich boków.

Tabela 1.2. Obliczenia pól trójkąta nr.3.

Lp.	Pa [mm^2]	Pb [mm^2]	Pc [mm^2]	Ph [mm^2]
1.	3108,4	3106,1	3105,6	3099,7
2.	3110,5	3108,7	3104,9	3102,8
3.	3110,2	3108,2	3111,0	3103,9
4.	3111,5	3108,7	3111,0	3103,6
5.	3110,4	3109,4	3110,2	3103,7
6.	3116,3	3085,5	3108,7	3103,2
7.	3064,3	3082,5	3077,8	3097,7
8.	3108,9	3107,4	3107,5	3101,8
9.	3107,0	3068,1	3107,0	3072,7
10.	3112,1	3107,6	3105,9	3100,9
m^1)	3106,0	3099,2	3105,0	3099,0
s^2)	14,9	14,9	9,8	9,5

1.) x_śr (m.)- średnia arytmetyczna serii n pomiarów (x₁,x₂,...,x_n ) wielkości fizycznej X wynosi

2) S_Śr (s)- Średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru skończonej serii n pomiarów wielkości fizycznej X wynosi:

2 . Sprawdzanie, czy pomiary były obciążone błędami grubymi i ewentualne przeprowadzenie eliminacji lub korekty tych błędów.

Błędy grube powstają zazwyczaj wskutek pomyłki eksperymentatora (chociaż mogą być spowodowane również nieodpowiednią metodą pomiarową).

W przeprowadzonych pomiarach boków trójkąta w pomiarze 9 boku b został popełniony błąd gruby ok.1mm. Błąd ten spowodował dużą wartość odchylenia standardowego. Dlatego wykrycie go było bardzo łatwe. Dodatkowym skutkiem błędu było niedokładnie obliczone pole trójkąta Pb = b  h_b / 2 oraz na pola obliczonego z wzoru Herona.

Postanowiłem skorygować jego pomiar i zamiast wartości 84.58mm w tabeli nr.1.1. wstawiłem 85.58mm ponieważ ta wartość jest bardziej wiarygodna. Pozwoliło to także wyeliminować błąd gruby z obliczonego pola P_b, ora P_h. Pomiary trójkąta nr.3. po korekcie przedstawia tabela nr 2.1. i tabela nr.2.2.

Tabela 2.1. Pomiary boków i wysokości trójkąta nr.3. po korekcie..

Lp.	a [mm]	B [mm]	c [mm]	ha [mm]	hb [mm]	hc [mm]
1.	95,85	85,59	75,94	64,86	72,58	81,79
2.	95,90	85,64	75,97	64,87	72,60	81,74
3.	95,92	85,66	75,98	64,85	72,57	81,89
4.	95,93	85,64	75,98	64,87	72,60	81,89
5.	95,91	85,67	75,97	64,86	72,59	81,88
6.	95,87	85,66	75,98	65,01	72,04	81,83
7.	95,70	85,60	75,94	64,04	72,02	81,06
8.	95,88	85,65	75,94	64,85	72,56	81,84
9.	95,88	85,58	75,92	64,81	72,55	81,85
10.	95,92	85,62	75,92	64,89	72,59	81,82
m^1)	95,876	85,631	75,954	64,791	72,470	81,759
s^2)	0,0669	0,0318	0,0246	0,2690	0,2325	0,2500

*a,b,c-boki trójkąta, ha,hb,hc – wysokości prostopadłe do odpowiednich boków.

Tabela 1.2. Obliczenia pól trójkąta nr.3. po przeprowadzonej korekcie

Lp.	Pa [mm^2]	Pb [mm^2]	Pc [mm^2]	Ph [mm^2]
1.	3108,4	3106,1	3105,6	3099,7
2.	3110,5	3108,7	3104,9	3102,8
3.	3110,2	3108,2	3111,0	3103,9
4.	3111,5	3108,7	3111,0	3103,6
5.	3110,4	3109,4	3110,2	3103,7
6.	3116,3	3085,5	3108,7	3103,2
7.	3064,3	3082,5	3077,8	3097,7
8.	3108,9	3107,4	3107,5	3101,8
9.	3107,0	3104,4	3107,0	3099,3
10.	3112,1	3107,6	3105,9	3100,9
m^1)	3106,0	3102.9	3105,0	3101,7
s^2)	14,9	10,1	9,8	2,2

3. Analiza miar błędów przypadkowych.

Błędami przypadkowymi nazywamy błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany. W chwili pomiaru mierzącemu nie jest znana wartość błędów przypadkowych.

Pomiary bezpośrednie boków i wysokości trójkąta są oczywiście obarczone błędem przypadkowym na co miały wpływ:

• trudności ustawienia mierzonego boku lub wysokości trójkąta prostopadle do szczęk suwmiarki,

• zaokrąglenia wierzchołków trójkąta,

- różnej rozdzielczości oczu mierzących,

• różnych metod pomiaru,

• różnego ścisku suwmiarki stosowanego przez mierzących.

Okazuje się że miary błędów przypadkowych przy pomiarze długości boków są mniejsze od błędów przypadkowych powstałych przy pomiarze wysokości. Wiąże się to ze stosunkowo trudnym ustawieniem mierzonej wysokości trójkąta prostopadle do szczęk suwmiarki. Był to jeden z zasadniczych powodów uzyskiwania różnych długości boków.

4. Analiza błędów systematycznych wyznaczenia powierzchni trójkąta nr.3.

Błędy systematyczne to błędy , które przy wielu pomiarach tej samej wartości wykonywane w tych samych warunkach pozostają stałe lub zmieniają się wg określonego prawa.

Rozmiary obliczonych pól zarówno ze wzoru standardowego jak i wzoru Herona są bardzo do siebie zbliżone. Niemniej jednak pola wyliczona ze wzoru Herona, są mniejsze co do wartości od pól liczonych ze wzoru tradycyjnego. Spowodowane to jest tym że we wzorze Herona wykorzystywane są długości wszystkich trzech boków trójkąta. Pomiary boków ze względu na trudności zmierzenia boku miały tendencję do zaniżania swej wartości.

We wzorze tradycyjnym wykorzystuje się tylko jeden bok i opadająca na niego wysokość. Pomiary wysokości z kolei miały skłonność do zawyżania swej wartości.

Niemniej jednak pola wyliczone ze wzoru Herona ze względu na mniejsze błędy przypadkowe pomiarów boków jest dokładniejszy.

5. Tabela pomiarów i obliczeń . Przykładowe obliczenia.

Tabela.5.1.Pomiary i obliczenia.

Wielkość Mierzona x	xśr [mm]	n^3)	Sśr [mm]	Sx^4) [mm]	Dp^5)=3Sx [mm]	x ± Dp - [mm] +		dp^6) [%]	x(Dl)^7) [mm]	dx(Dl)^8) [%]
a	95,876	10	0,0669	0,021	0,063	94,840	95,939	0,066	0,03	0,031
b	85,631	10	0,0318	0,010	0,030	85,601	85,661	0,035	0,03	0,035
c	75,954	10	0,0246	0,0078	0,023	75,931	75,977	0,031	0,03	0,039
ha	64,791	10	0,2690	0,085	0,26	64,536	65,046	0,39	0,03	0,046
hb	72,470	10	0,2325	0,074	0,22	72,249	72,691	0,30	0,03	0,041
hc	81,759	10	0,2500	0,079	0,24	81,522	81,996	0,290	0,03	0,037
	[mm^2]					- [mm^2] +
Pa	3106,0	10	14,9	4,71	14,14	3091,86	3120,14	0,46	-	-
Pb	3102,9	10	10,1	3,19	9,58	3093,32	3112,48	0,31	-	-
Pc	3105,0	10	9,8	3,10	9,30	3095,70	3114,30	0,30	-	-
Ph	3101,7	10	2,2	0,70	2,09	3099,61	3103,79	0,067	-	-

3) n - ilość pomiarów.

4)S_x - Średni błąd kwadratowy wartości średniej x_śr skończonej serii pomiarów n wielkości fizycznej X wynosi:

5 ) Dp – błąd przypadkowy graniczny wynosi Dp=3S_x

6 ) dp – błąd względny przypadkowy wynosi :

7) x(Dl) – błąd graniczny suwmiarki

8) dx(Dl) – błąd względny suwmiarki wynosi dx(Dl)=Dl/x*100%

2. Przykładowe obliczenia.

x_śr=85,631 S_śr=0,0318 x(Dl)=0,03

Dp= 3*S_x = 3* 0,01 = 0,03

VI. WNIOSKI OGÓLNE.

Podczas wykonywania ćwiczenia jeden ze studentów popełnił podczas pomiaru jednego z boków błąd gruby (Student 9 - bok b) , który to błąd przy opracowywaniu wyników pomiarów został skorygowany. Mógł on nastąpić w wyniku nieprawidłowego wpisu do komputera lub pomyłki przy odczycie wartości

Większe błędy przypadkowe występują przy pomiarze wysokości trójkąta, aniżeli przy pomiarze jego boków. Wpływa to na dokładność obliczenia pola trójkąta - bardziej dokładną wartością jest ta, która wykorzystuje wzór Herona. Przy obliczaniu pola tą metodą nie wykorzystujemy pomiarów wysokości trójkąta.

Odchylenia standardowe są większe przy pomiarze wysokości niż boków.

W pomiarach wystąpiły błędy przypadkowe mogły wynikać między innymi z :

- zaokrąglonych wierzchołków trójkątów,

- trudności ustawienia mierzonego boku trójkąta prostopadle do szczęk suwmiarki,

- różnych metod pomiaru (różne ułożenie trójkąta w czasie pomiaru, dociskanie z różną siłą szczęk suwmiarki do mierzonego trójkąta).