FIGURY GEOMETRYCZNE W PRZESTRZENI

Należy powtórzyć:

• położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni - kąt pomiędzy prostymi, pomiędzy prostą i płaszczyzną, pomiędzy dwiema płaszczyznami;

• siatka, pole powierzchni i objętość graniastosłupa;

• siatka, pole powierzchni i objętość ostrosłupa;

• siatka, pole powierzchni i objętość walca;

• siatka, pole powierzchni i objętość stożka;

• pole powierzchni i objętość walca;

• siatka, pole powierzchni i objętość innych figur obrotowych.

1. Na prezentowanym poniżej rysunku ostrosłupa wskaż kąt nachylenia ściany ABS do płaszczyzny podstawy ABC i wyznacz jego sinus.

2. Na prezentowanym poniżej rysunku ostrosłupa wskaż kąt nachylenia krawędzi AS do płaszczyzny podstawy ABC i wyznacz jego sinus.

3. Oblicz z dokładnością do 0,1 cm, jakie co najmniej wymiary powinno mieć kartonowe sześcienne pudełko, by mogło się w nim zmieścić 0,3 litra napoju?

4. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach długości 12dm i 5dm. Oblicz objętość tego prostopadłościanu, jeżeli jego przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ^o.

5. Wymiary prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 5. Oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu, jeżeli jego objętość wynosi 216.

6. Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt prostokątny ABC, gdzie
   Krawędź boczna CS jest prostopadła do podstawy i ma długość 3cm. Narysuj siatkę i oblicz pole tego ostrosłupa.

7. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę 2
   , zaś długość promienia okręgu wpisanego w tę ścianę jest równa r. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego ostrosłupa.

8. W stożek, którego promień podstawy jest równy wysokości i wynosi a wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

9. W stożek, którego promień podstawy jest równy wysokości i wynosi a wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny. Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

10. Ile ołowianych ciężarków w kształcie kuli o średnicy 5mm można wykonać z 2m pręta w kształcie walca o promieniu 2mm?

11. Zaprojektowany dla kosmetycznej firmy flakon ma kształt walca. Czy zmieści się w nim 100ml perfum? Odpowiedź uzasadnij.

12. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość figury powstałej przez obrót trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej dł. 10 i jednym z kątów ostrych 60^o dookoła przeciwprostokątnej.

13. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość figury powstałej przez obrót trapezu prostokątnego, którego krótsze ramię jest przystające do krótszej podstawy i ma długość równą połowie długości dłuższej podstawy i wynoszącą 2cm.

14. Dany jest stożek obrotowy.
    a) Mając daną powierzchnię boczną P₁ tego stożka oraz jego powierzchnię całkowitą P, wyznaczyć cosinus kąta nachylenia tworzącej danego stożka do płaszczyzny jego podstawy.
    b) Dana jest długość l tworzącej stożka. Wyznaczyć wysokość stożka o możliwie największej objętości.

15. W dany stożek wpisano kulę. Wykazać, że stosunek objętości stożka do objętości kuli w niego wpisanej jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni tej kuli.

16. W ostrosłupie trójkątnym jedna z krawędzi ma długość a, każda z pozostałych krawędzi - długość 2 j.
    a) Oblicz objętość ostrosłupa dla a = 2 j.
    b) Wykaż, że dla a= 2
    j dwie ściany ostrosłupa są prostopadłe.
    c) Dla jakiej wartości a pole powierzchni ostrosłupa ma wartość maksymalną?

2

---