III. WIELOMIANY

Wielomianem stopnia n zmiennej x nazywamy funkcję: W(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … +anx^n ,gdzie a1, a2, …, an R , an ≠ 0 np. W(x) = 3 + 5x - x^2 + 7x^3 - 3x^4.

Wielomiany W(x) i G(x) są równe gdy są tego samego stopnia, mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej oraz równe wyrazy wolne.

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy liczbę, dla której wartość wielomianu wynosi 0 (zero).

Twierdzenie Bezout'a: ”Liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x - r) i odwrotnie: jeśli wielomian W(x) dzieli się przez (x - r), to liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x)”.

Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian G(x), jeśli istnieje taki wielomian P(x), że W(x) = P(x) ⋅ G(x) np. : ⇔

Jeżeli wielomian W(x) dzieli się przez G(x) z resztą, to istnieją takie wielomiany P(x) i R(x), że W(x) : G(x) = P(x), r R(x) ⇒ W(x) = G(x) ⋅ P(x) + R(x) , gdzie stopień R(x) < stopnia G(x)

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - r) jest równa W(r).

Jeśli liczba jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a  q - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze niewiadomej. np. W(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5 ; p = {1, -1, 5, -5} q = {1, -1, 2, -2}

Metody rozkładu wielomianu na czynniki: a) wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias np. b) stosowanie wzorów skróconego mnożenia np. c) grupowanie wyrazów np. d) zapisywanie trójmianu kwadratowego w postaci iloczynowej np. ,gdzie x1 i x2 - pierwiastki trójmianu, gdy > 0 , gdzie x0 - pierwiastek podwójny, gdy = 0

Równanie wielomianowe W(x) = 0 np. Rozwiązaniem równania W(x) = 0 są pierwiastki wielomianu W(x).

Nierówności wielomianowe W(x) < 0 lub W(x) > 0 np.

22

5

-1

+

+

1

|

|

|

---