Strona0269

11. DRGANIA PARAMETRYCZNE

Dotychczas rozważano drgania swobodne i wymuszone układów mechanicznych liniowych i nieliniowych. W przypadku drgań swobodnych energia jest doprowadzana do układu jednorazowo przez zadanie warunków początkowych. Drgania wymuszone charakteryzują się tym, że na układ działa zewnętrzne wymuszenie, które występuje w równaniach dynamicznych ruchu jako wyraz jawnie zależny od czasu. W przypadku układów samowzbudnych czas nie występuje w sposób jawny, źródło energii jest stałe, nie zależy od czasu, a dopływ energii jest regulowany przez sam układ drgający.

11.1. Równanie Mathieu i równanie Hilla

Obecnie rozpatrzymy inny sposób oddziaływania na układ drgający. Polega on na tym, że czynnik zewnętrzny zmienia okresowo jeden lub kalka parametrów układu mechanicznego, występujących jako współczynniki równania ruchu, które w związku z tym są okresowymi funkcjami czasu. Ten sposób oddziaływania nazywa się parametrycznym pobudzaniem drgań, a drgania nazywają się parametrycznymi. Rozważmy np. wahadło matematyczne o drgającym punkcie zamocowania (rys. 11. la, b). Przyjmiemy, że punkt zamocowania wahadła długości /, o masie m wykonuje pionowe drgania okresowe s = s(ż) o dodatnim zwrocie, jak pokazano na rys. 11.1. Jako współrzędną uogólnioną przyjęto kąt wychylenia wahadła <p z dowolnego położenia równowagi. W wyniku zrzutowania sił przyłożonych do masy na kierunek prostopadły do wychylonego wahadła otrzymano:

mlę + m[g + s{t)\śm-<P = Q    (11.1)

Zakładając małe wychylenie wahadła, przyjęto: siny? s <p. Otrzymamy wówczas liniowe równanie drgań w postaci

(11.2)