022(1)

BS5?

49.    Znaleźć granice funkcji;    . .m

1)    f(_x) = *³-5x² Ą-2xĄ 4, gdy .v -> -3    ' ^

2)    </ (O /1 /² —20 !g(r-H y i²-20), gdy t -*■ 6

R o /. w i ą z a n i c. Dane funkcje są funkcjami elementarnymi, a ponieważ w punktach granicznych są one określone, wobec tego granice tych funkcji znajdujemy po prostu orze/, obliczenie ich wartości w punktach granicznych:

1)    lim f(x) =/(—3) = (—3)³—5 • (-3)²+2 • (-3)+4 = -74

2)    lim g(t) = 9 (6) = 6 1 6²-20 - Ig (6+ ] 6²-20) = 23 1^6

Wyznaczyć granice:

50.    lim-L- ć± 5i. lim (_A-⁵-5^x+1-f 3)

x~>2. 2X-\~ i    x~— 1

52. lim lg (2—2.v -.v^:—,\-³)    53. lim sinx sin2xsin 3x

b. Jeżeli argument dąży do nieskończoności lub do liczby nie należącej do dziedziny funkcji, to w każdym z tych przypadków poszukiwanie granicy funkcji wymaga specjalnego badania.

W prostszych przypadkach granicę funkcji można znaleźć w drodze rozważań, analogicznych do tych, które przytoczyliśmy rozwiązując zadania w §§ 5 i 6.

W wyniku takich rozważań, opartych na własnościach granic, otrzymuje się następujące, często występujące granice (stała a jest wszędzie dodatnia):

1.

4.

7.

lim ax = co		2. lim — = oo	3. lim —
X-*-X>		JC-.30 @	x->-0 x
lim Ą =	+ co	5. lim -— = oo	6. lim —-
x * i 0 X		x->0 X	x—*oo X
	0,	gdy |o|<l
lim a^x ==	+ 00,	gdy a > 1
X > 1 oo	co,	gdy a < — l^l)

O Gdy a<0 zmienna x może przyjmować tylko wartości całkowite; funkcja a^x przy «<0 jest określona nie dla wszystkich wartości x.

	0, gdy	1	fli > 1
8. lim a^x =	+ co, gdy		0 < a < 1
X —^1■— 30	oo, gdy		1 <«<0’>
9. lim logfl.v	= !““•	gdy	a > 1
.V—^1- -f CC	1+ oo,	gdy	0 <a < 1
10. lim logfl x — [ ^X)’		gdy	a > 1
x> i 0	1 + co,	gdy	0 < a < 1

11.    lim ^sm - = 1 (x oznacza tu kąt mierzony w radianach)

,v_Q -V

12.    lim (l+- ) = lim (l + a)^T = e^ 2,71828'

X—\    X /    a—¹0

Podanymi tu, podstawowymi granicami posługujemy się przy obliczaniu innych granic. Odgrywają więc one rolę wzorów, które warto zapamiętać.

Bardziej złożone przypadki znajdowania granic funkcji typu-jj-,

0 • co, co — co, 1" rozpatrzymy kolejno w dalszym ciągu.

i. Przypadek, gdy dla x a lub x -> co funkcja f(x) przyjmuje postać ilorazu dwóch wielkości nieskończenie małych (przypadek -jj-(.

Jest to szczególnie ważny przypadek wyznaczania granic funkcji. Jak bowiem zobaczymy dalej, wyznaczanie granicy stosunku nieskończenie małego przyrostu funkcji i nieskończenie małego przyrostu argumentu jest jednym z podstawowych sposobów badania funkcji.

54. Wyznaczyć granice:

x 2    2j?—\\xĄ- 5

^])    x2=4    ²> ^lin] 3²-14x-5‘

sin² x

o 4) lim

3) lim

x⁵+2x⁴+x²-3x    10

1 -fcos³.v

_₂ a-⁴-|-2.v³+3.v²+5.v-2 Rozwiązanie. Najpierw należy się przekonać, że granicy funkcji nie można znaleźć przez bezpośrednie podstawienie, tzn. stwierdzić, że przy danym przebiegu argumentu funkcja jest ilorazem dwóch nieskończenie

małych wielkości (przypadek —j. Następnie tak przekształcamy dane wyrażenie, aby ułamek można było skrócić przez czynnik dążący do zera.

43

1

Gdy a < 0 zmienna x może przyjmować tylko wartości całkowite; funkcja a^x przy

2

■a < 0 jest określona nic dla wszystkich wartości .r.