DSC07371

Krzywe stożkowe

Przykłady

Okrąg

• Przykład 6.1

a)    Wyznaczyć współrzędne środka oraz promień okręgu, który przechodzi przez punkty >1 — (1.!), £ = (-1,3), C = (3,7);

b)    Znaleźć współrzędne środka i promień okręgu z³ — 8x + y² + 6# + 20 = 0;

c)    Znaleźć współrzędne środka cięciwy okręgu

a^ + y² — 2p — 24 = 0,

która jest zawarta w prostej x + y — 2 = 0;

d)    Znaleźć równanie okręgu, który ma środek na prostej x + y = 0 i przechodzi przez punkty A = (1.5), i? — (—1.7);

e)    Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu A = (i. 0 jest dwa razy większa niź odległość od punktu B = (-1,4).

Rozwiązanie

a) Równanie okręgu o środku 3 = (xo, po) i promieniu r > O ma postać

- *o)³ -f (p — po)³ == r³.

Podstawiając w iyrn równaniu współrzędne punktów ś, B oraz C otrzymamy układ

161

Przykłady

równań

(1 - xo)^a + (1 - §p = r³,

(-1 - x₀)^a + (3 — vo)^a = r*.

H. (3 - xo)^a + (7 - yo)^a = r*.

Odejmując pierwsze równanie układu od drugiego i trzeciego otrzymamy układ równań z niewiadomymi xo, yo-

f zo — l/o = —2,

\ zo + %o = 14.

Rozwiązaniem tego układu jest para (zo, J/o) = (2,4). Po podstawieniu rozwiązania do pierwszego równania poprzedniego układu otrzymamy r = \/i0. Okrąg przechodzący przez zadane punkty ma środek (xo,yo) = (2,4) oraz promień r = vlO. b) Lewą stroną rozważanego równania przedstawimy w postaci

(x - x₀)² + (y - yo)² + C.

Mamy

x^J-8x + y^a+Ó_V + 20 = (xp4)^a + (v + 8)*-16-3fl + 20.

Stąd

(x — 4)² + (y — 6)² = 32.

Zatem rozważany okrąg ma środek (xo,yo) = (4,6) i promień r = 4v/2.

c) Współrzędne (xi,yi), (x2,ya) końców cięciwy okręgu spełniają układ równań

f *^a + y^a-2y-24 =0,

lx + y- 2 = 0.

Postawiając do pierwszego równania niewiadomą y wyznaczoną z drugiego otrzymamy równanie kwadratowe

x² - x - 12 = 0.

Współrzędne środka S odcinka o końcach (*i,yi), (xa,ya) wyrażają sie wzorami

_ xi +xa    yi +ya

* ⁼ 2 ' ^V’ “ 2 ’

Zauważmy, że do wyznaczenia współrzędnej x_a nic jest konieczna znajomość pierwiastków xi, X2 równania kwadratowego tylko ich sumy. Korzystając ze wzorów Vietc‘a mamy

Ponieważ * -x, +2 dla « = 1.2. więc

3

2'

*, = ^ = ₂_JłJS.= ₂_«

środkiem cięciwy jest zatem punkt 5 = (j.    .