img013 2

34 I. Estymicja przedziałowa parametrów

próbnego uzyskujemy jedynie informację o tym, czy dany element populacji generalnej ma badaną, wyróżnioną cechę jakościową czy też jej nie ma. Elementy populacji generalnej możemy więc podzielić wtedy na dwie klasy: elementy wyróżnione w populacji (tj. posiadające badaną kategorię jakościową) oraz niewyróżnionc.

Podstawowym parametrem populacji, szacowanym w przypadku badań statystycznych ze względu na cechę niemierzalną (jakościową), jest frakcja (lub po przemnożeniu przez 100 — procent) elementów wyróżnionych w populacji, zwana też wskaźnikiem struktury w populacji, gdyż często jest to tylko jeden element całej tablicy statystycznej ujmującej strukturę populacji generalnej ze względu na badaną.cechę.

Wskaźnik struktury populacji, którego wartość jest ułamkiem właściwym (lub procentem mniejszym od 100), oznaczajmy zwykle symbolem p (nie należy mylić tego symbolu z prawdopodobieństwem jakiegoś zdarzenia losowego).

Przedział ufności dla wskaźnika struktury p_t czyli dla frakcji elementów wyróżnionych w populacji, otrzymujemy jak zwykle z odpowiedniego rozkładu estymatora tego parametru. Najlepszym estymatorem, uzyskanym metodą największej wiarygodności parametru p, jest wskaźnik struktury ~ próby min, gdzie m oznacza liczbę elementów wyróżnionych znalezionych w losowej próbie o liczebności n.

W zależności od wielkości próby n można budowę przedziału ufności dla p oprzeć albo na dokładnym rozWadzie estymatora ru.bi, albo też ua jego rozkładzie granicznym (w dużej próbie). Wyznaczanie przedziału ufności dla wskaźnika struktury p z malej próby nie'jest sprawą prostą : (istnieją gotowe tablice podające przedział ufności w tym przypadku zamieszczone np. w Tablicach Statystycznych pod red, W. Sadowskiego), toteż pominiemy to zagadnienie.    J

Najczęściej szacujemy frakcję p elementów wyróżnionych (lub procent) I w populacji, w oparciu o wyniki dużej próby (n - co najmniej 100). Wtedy] korzystając z fakt u, iż estymatory uzyskane metodą największej wiarygodno-] ści mają rozkład asymptotycznie normalny, możemy wyznaczyć przybti-l żony przedział ufności dla parametru p.    |

Model. Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p,| tzn. elementy populacji są podzielone na dwie klasy, przy czym frakcjaj elementów wyróżnionych w populacji wynosi p, które nie jest małym ułam-J

kiem (p>0,05). Z populacji tej wylosowano niezależnie dużą liczbę n elementów do próby («> 100). Wtedy przedział ufności dla wskaźnika struktury p populacji generalnej jest określony przybliżonym wzorem:

gdzie m jest liczbą elementów wyróżnionych znalezionych w próbie, a u_t jest odczytaną z tablicy rozkładu normalnego *V(0, i; wartością zmiennej normalnej standaryzowanej U, w taki sposób, by spełniona była relacja P{—u_a< U<u_a}=) - z dla ustalonego z góry współczynnika ufności 1 —a.

Przykład. Chcemy oszacować, jaki procent pracujących mieszkańców Warszawy jada obiady w stołówkach pracowniczych. Pobrano w tym celu «r=900 osób wylosowanych niezależnie do próby i znaleziono w tej próbie w=300 osób, które jedzą obiady w stołówkach. Przyjmując współczynnik ufności l-y=0,95 zbudować przedział ufności dla procentu badanej kategorii pracujących w Warszawie.

Rozwiązanie. Z treści zadania wynika, że próba była duża, toteż przedział ufności dla szacowanej frakcji p pracowników' można wyznaczyć według wzoru (1.6). Dokonujemy niezbędnych obliczeń:

”0,333.

•2

“—3:0.016.

90

w _300_ I ~7 900    3

Z tablicy rozkładu normalnego ,Y(0. 1) dla l-« = 0,95, tzn. dla *1=0,05, znajdujemy wartość n_a= 1,96. Otrzymujemy zatem następujący przybliżony przedział ufności;

0.333-1,96 *0,016 <*><0,333+1,96-0,016, czyli 0,302 <p<0,364.

Zatem przedział liczbowy o końcach 30,2% i 36,4% z ufnością 0,95 obejmuje nieznany procent pracujących mieszkańców Warszawy, jedzących obiady w stołówkach pracowniczych.