img034 2

76 TI. Parametryczne testy istotności

§ 23. TEST DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY ("PROCENTU)

Podstawowe wyjaśnienia

W badaniu statystycznym prowadzonym ze v»zględu na cechę niemierzalną (jakościową) zachodzi czasem konieczność sprawdzenia hipotezy o wartości wskaźnika struktury populacji, tj, frakcji elementów wyróżnionych w populacji (lub po przemnożeniu przez 100 - procentu). Wskaźnik struktury p populacji generalnej może przyjąć wartość z przedziału (0, 1). Hipotezę dotyczącą wartości wskaźnika struktury p można sprawdzać wieloma metodami (między innymi za pomocą analizy sekwencyjnej). W niniejszej książce omówiony będzie test dla wskaźnika struktury p dla przypadku dużej próby'. Korzysta się bowiem wtedy z założenia, że -wskaźnik. struktury z próby min ma rozkład asymptotycznie normalny. Pozwala to na zbudowanie obszaru krytycznego w oparciu o rozkład normalny.

Model. Populacja generalna ma rozkład dwu punk to wy ?. parametrem p, tzn. frakcja elementów wyróżnionych w populacji jest p. Z populacji tej wylosowano niezależnie do próby dużą liczbę n elementów populacji (>*>100). W oparciu o wyniki tej próby, należy zweryfikować hipotezę łio : p-po wobec hipotezy alternaty wnej H_x : p j=Po, gdziejest hipotetyczną wartością parametru p.

Test istotności dla tej hipotezy jest następujący. Obliczamy wskaźnik struktury z próby m/tu gdzie m jest liczbą elementów wyróżnionych znalezioną w próbie. Następnie obliczamy wartość statystyki

---Po

(2.6) u—- —. gdzie rfo-l-Pił*

‘Po

V «

Statystyka la ma przy założeniu prawdziwości hipotezy Ho rozkład asymptotycznie normalny A'(0, 1). Z tablicy rozkładu normalnego _V(0, 1) znajdujemy następnie taką krytyczną wartość «*. by spełniona była równość .i P{)U'<!^ił„}=ra (por. rys. 4, str. 57). Zbiór określony nierównością w n wiasic jest dwustronnym obszarem krytycznym testu, izn. gdy z porównania^

obliczonej wartości u /. wartością krytyczną wyniknie, ifi \u wówczas hipote/ę Jf₀ odrzucamy na korzyść alternatywy //_}. Natomiast gdy zajdzie nierówność ulew.!, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀.

Uwaga. Podobnie jak w innych testach, dwustronnego obszaru krytycznego określonego nierównością u u, używamy tylko wtedy, gdy hipoteza alternatywna jest postaci //, : p¥=p$- Dla hipotezy alternatywnej postaci łJi : p<p_a obszar krytyczny w omawianym teście istotności buduje się lewostronnie, tzn. taka wartość u Jest wartością krytyczną, że P {U^ «J = Obszar krytyczny jest wtedy określony przez, nierówność L^:^u_x. Wartość jest wtedy oczywiście ujemna. Natomiast dla hipotezy alternatywnej postaci H, : p>p₀ obszar krytyczny w tym teście buduje się prawostronnie, tzn. jest on określony nierównością U^u_B. Wartość krytyczną u* odczytuje się wtedy z tablicy rozkładu AtO. 1) w takt sposób, by spełniona była równość FW^u_x\-=i (por. rys. 6, sir. 58).

PrzykłaJ). Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji pewnego podzespołu w aparatach radiowych wynosi 10%. W'celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano niezależnie próbę 100 podzespołów j otrzymano w niej 15 podzespołów wadliwych. Na poziomie istotności a = 0,05 zweryfikować tę hipotezę.

Rozwiązanie Z treści zadania wynika, że w próbie otrzymano

O /

/*\

m 15

- =— =0,15 = 15 u 100

wadliwych podzespołów. Obszar krytyczny testu można zbudować tu dwustronnie.

Formalnie pisząc, stawiamy hipotezę H_c.: p-=0,l wobec hipotezy alternatywnej Nj : p#0,i. Z tablicy rozkładu normalnego N{0, i) odczytujemy taką wartość by F{ U\ >u₇\ ~0,05- Jest to wartość w₂ = l,96. Na podstawie wzoru (2.6) obliczamy następnie wartość

0,15-0.10 0,05-10

u = —____—. —--=1.67.

/?■>»:!_ 0,3

\ ICO

Porównując war rość u i war r ością krytyczną mamy Ju[ = 1,67 < 1,96=^,

co oznacza, że nie znaleźliśmy się w obszarze krytycznym. Nie ma zatem podstaw^r do odrzucenia hipotezy //₀, żc wadliwość wynosi 10%. Różnica 5%, otrzymana w próbie, okazała się nieistotna.