Zaganienia na�

Elektrotechnika IB/Równania różniczkowe - EO

1.    Równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci normalnej, warunek początkowy, def. rozwiązania.

Metoda rozdzielania zmiennych.

2.    Proste typy równań skalarnych;

-    równanie jednorodne,

-    równanie liniowe pierwszego rzędu,

-    równanie Bernoulliego.

3.    Równanie Riccatiego, równanie zupełne.

4.    Istnienie i jednoznaczność rozwiązania problemu Cauehy’ego;

-    zamiana problemu Cauchy’ego na równanie całkowe,

-    TW Peano,

-    def. funkcji spełniającej warunek Lipschitza, przykłady,

-    TW Picarda.

5.    Układy skalarnych równań liniowych pierwszego rzędu;

-    układ równań jednorodnych o stałych współczynnikach, funkcja e^A, jej własności, TW o postaci macierzy fundamentalnej,

-    efektywna konstrukcja macierzy e^tA, postać rozwiązania,

-    rozwiązanie układu rówwnań niejednorodnych, metoda Lagrange’a.

6.    Równanie liniowe rzędu n o stałych współczynnikach, równanie charakterystyczne, metoda wariacji stałych, metoda przewidywań.

7.    Równanie Cauchy’ego-Eulera.

8.    Zastosowanie transformaty Laplace’a oraz szeregów potęgowych do rozwiązywania równań różniczkowych.

9.    Jakościowe badanie rozwiązań równania różniczkowego, stabilność;

-    równanie autonomiczne, def. punktu krytycznego, interpretacja stabilności, asymptotycznej stabilności, niestabilności punktu krytycznego na płaszczyźnie,

-    klasyfikacja punktów krytycznych układów liniowych na płaszczyźnie w zależności od wartości własnych, portrety fazowe,

-    układy nieliniowe, linearyzacja, TW o perturbacji i stabilności.

10.    Problem brzegowy dla operatorów różniczkowych 2-go rzędu;

-    TW o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania liniowego problemu brzegowego,

-    problem własny, definicja wartości i funkcji własnych, przykłady.

Przykładowy zestaw pytań:

1.    Omówić postać oraz sposób rozwiązywania równania Bernoulliego.

2.    Narysować portret fazowy układu x' = Ar, gdzie A G M(2,2) jest konkretną klatką.

3.    Podać przykład problemu brzegowego nie posiadającego rozwiązania.