00098514

316 I. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

okr^ów K,,K₂,    Pominiemy tu dal sic szczegóły tego uzasadnienia, których Ciytelnik po- ¹

winien domyśleć się bez trudu.

Przykład. Obliczyć cafe?

Funkcji podcałkowa jest tu holomorficzna na całej płaszczyźnie, z wyjątkiem punktu zi i_punktu ij =y. Całkę (IIL134) można wiec przedstawić na podstawie wzoru (UJ.l33) w ni «cy sposób

r di ( dz e dc

jT’a^,+i'“ 7 ^+1 ⁺ j 7=TT

przy czym oznacza okrąg o irodku z, = -*a “ +J i tym samym płomieniu. Ponieważ

*»+l    % *»+l

■j i promieniu , natomiast AT, oznacza okręg o:

_J__/ l ]_

ł*+l "2 Jr+y " 2 1

**+l    2 T X+y 21 Ir/’ 2 **

Całka (CL 134) równa się więc zz

głównych rachunku całkowego.

* obszarze jednospójnyiu odpowiedniki twierdzeń

3. Podać wnioski wynikające z twierdzenia podstawowego Cauchy’egO i dotyczące Calka-nia funkcji holomorficznej w obszarze mejednospójnym (wniosek 2, wniosek 3). Wyjaśnić piak • enie tych wniosków.

4. Obliczyć: a) J (2**—3*+!)&, b) j unadz, c) $ Coszrfz.

« « ćS. «    K)

R-isO *^+l    K—W) * ^1    1 '

“    4™

Odpowiedzi. 4. a) y(*I-*J>-y(*|-«?)+Z_ł-*i. b) 0. c) 0, d) 2ięf,

_e) 0, 0 2*7. *> y. W -y. i) 1™-

12. WZÓR CAŁKOWY CAllCHY EGO

Xw. (o wzorze całkowym Cauchy’ego). Jeżeli funkcja f{ż] jest holomorficzna _w Wszarze jednospójnym D, zaś C c D jest kawałkami gładką krzywą Jot dana, która zawiera punkt z₀ w swym wnętrzu D_c (rys. 111.40), to

dowód, w o

ze D określamy funkcje pomocniczą

■ -

, ____aa funlcja jest holomorficzna w obszarze D z wyjątkfcm co najwyżej punktu z₀, w któ

lim A(z) =/’(*«) = A(r₀)

rym jat ciągło, gdyi