00098518

324

ni. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Przypadek Jo — 0. Funkcja (IĘ.14S) nie Jcił holomorficzna w pun) gk>S4 tego punktu od punktu Jo — 0 (tył. 10.43) wynosi 1. W każdym punkcie punktuO (w każdym innym punkcie w ogóle) funkcja /(i) jat holomorficzna. Pronm onViio|n ceresu wynosi więc co najmniej ], Promień ten nie mole być jednak wi gdyż wewnątrz kota zbieżności suma tzetegu potęgowego jest funkcją holomorficzną, zai' funkcja (1IL148) nie jest taką. Stąd promień zbieżności R - I. Ponieważ dla |i| < 1 nu

Przypadek z_B»—1. Rozumując podobnie jak poprą R wynosi w tym przypadku 2. Mamy nastanie

l-i 2—(i+l)    2    z+1

i y> (z+1)-

*-^m£t >⁺*

l-r J-, 3 . yx (,+iy

_f I , y fr+0*

1-1    ² &t ***

Przypadek ^—/. Promień zbieżności wynosi y'2, co łatwo o Mamy tu ¹

włęc dla |x-/| < |t->l. czyli dla |x-JI < V* dostajemy

(x-/y

yi (x—jy

"Śti 0-/)■+*

stąd zai

a J . V¹ (a-/?*

1-2 ' l-ż

ęn.i5i)

Powróćmy do twierdzenia o rozwinięciu funkcji holomorficznej w szereg potęgowy. Powiedziano tam, że promień zbieżności R tego szeregu jest nie mniejszy od kresu dolnego d odległości punktu z₀ od punktu na brzegu obszaru holomorficz-ności funkcji Az). Ostatni przykład wyjaśnia, że promień zbieżności R może być zarówno róvmy d jak i Kiększy od d. Przypuśćmy mianowicie, że funkcją /(z) jest suma szeregu stanowiącego prawą stronę równości (Ul. 150), a więc

A?) - —an.152)

Tak określona funkcja jest holomorficzna w obszarze D: |z+l| < 2. Okrąg |z+l| = 2 jest tu brzegiem T, o którym mowa w komentowanym twierdzeniu. Jest to największy z okręgów na rys. IIL43. Jeżeli przyjmiemy w obszarze D punkt z„ = 0 i rozwiniemy funkcje fiz) w szereg Taylora (UI.143), to otrzymamy

(por. III. 149), przy czym promień zbieżności R otrzymanego szeregu wynosi 1, czyli d (rys. III.43). Jeżeli natomiast przyjmiemy w obszarze D punkt z₀ = j, to otrzymamy

min,

(por. HL151). W tym przypadku * = |/2, d = 2-}/2 (por. rys. 111.43), więc

R>d.

Zwróćmy z kolei uwagę na pewne konsekwencje faktu, że nierówność między R i d inoże być mocna: R> d. Otóż suma szeregu, w jaki rozwinęliśmy funkcję A^z) holomorficzną w obszarze D, jest wówczas określona nio tylko w pewnym zbiorze punktów należących do D, ale i w takich punktach, które do obszaru D nie należą (np- większy półksiężyc na rys. 111.43). Suma szeregu jest przy tym identyczna Z rozwijaną funkcjąA*) ^w tych punktach koła zbieżności, które należą do obszaru D, natomiast w całym kole zbieżności suma ta określa pewną funkcję /*(z), zwaną przedłużeniem analitycznym funkcji A*)- Za pomocą przedłużeń analitycznych, można w wielu przypadkach rozszerzać dziedzinę funkcji holomorficz-

1

   W .