0292

293

§ 5. Przybliżone rozwiązywanie równań

Zatem

i można przyjąć

4,4934006... < { < 4,4934229...

i =4,4934 +0,00003 .

5) Siła metody Newtona przejawia się zwłaszcza wtedy, gdy dostatecznie zawęzimy przedział zawierający pierwiastek. Obliczymy na zakończenie z dużą dokładnością, powiedzmy do 1/10¹⁰, pierwiastek równania x³ — 2x—5 = 0, biorąc za punkt wyjścia przedział (2; 2,1) w którym pierwiastek ten jest zawarty.

Tutaj

f(x)=x³-2x-5,    /(2)= —1 <0 ,    /(2,1)=0,061>0,

/'(*)=3x² — 2>0 ,    /"(x)=6x>0 dla 2<x<2,l

(przypadek I). Można łatwo obliczyć, że m = 10, M<12,6, a więc

<0,63 .

M 2 m

Zaczynamy od 6 = 2,1. Na mocy wzoru (6): b—{<

0,061

1Ó”

=0,0061. Korzystając teraz z nierówności

(11) obliczymy jakiej dokładności możemy się spodziewać po x\:

Dlatego liczbę

*;-i <0,63 0,0061² <0,000024 .

= 2,1

/(2,1)

>(2,1)

=2,1

0,061

---=2,1-0,00543...

11,23

zaokrąglamy w stronę pierwiastka do piątego miejsca po przecinku x'_t = 2,1 —0,00544= 2,09456. Ponieważ /(xj) =/(2,09456) = 0,000095078690816, można według wzoru (6) dokładniej oszacować błąd

0,000095...

xj —{<—-- <0,00001 .

Przechodząc do x'₂ i stosując znowu (11) obliczymy z góry

Dlatego liczba

x'₂-£ <0,63 ■ 0,00001²=0,000000000063 .

x₂ =2,09456-

0,000095078690816

11,1615447808

= 2,09456 -0,000008518416...

zaokrąglona do jedenastego miejsca, x₂ = 2,09456—0,00000851841 =2,09455148159, różni się od szukanego pierwiastka mniej niż o 0,00000000007, Tak więc

2,09455148152 < £ <2,09455148159 ,

1

tzn. { = 2,0945514815 + —-.

10¹⁰

157. Metoda kombinowana. Metoda ta polega na jednoczesnym wykorzystaniu zarówno metody stycznej jak i metody siecznej.

Załóżmy na przykład, że mamy do czynienia z przypadkiem I. Wartości przybliżone x₂ i x\ obliczymy jak wyżej, korzystając ze wzorów (2) i (8):

(b-a)f(a)    f(b)

° f(b)—f(a) ’    ^b fib)’