KIF56

ani Z*, aniZ_gl (2) z Z_h nie wynika ani Z,, ani Z₃, (3) z Z, ny. nika Z,, a nie wynika Z_Ą. (4) z Z* wynika negacja Z_t. lecz z negacji Z* nie wynika Z„ (Z* wyklucza się więc z Z_p. lecz nic jen sprzeczne z Z*).

11.2    Ustalimy związki zachodzące między zdaniami reprezentowanymi przez schematy podane w parach (e) i (f). Niech Z, będzie dowolnym zdaniem reprezentowanym przez schemat V xlP(x)~* C(x)], a Z₂ — odpowiednim zdaniem reprezentowanym przez ~ \/ xP(x). Łatwo znajdujemy kontrprzyklad dla przypuszczania, żc Z_t wynika logicznie z Z,. Hipoteza, żc z Z, wynika negacja Z₂. okazuje się również błędna (podstaw np. za P(x) — .v jest nieomylny, za Q(x) — x jest wszechwiedzący). Dowodzimy natomiast, żc Z_x wynika z Z_t, korzystając kolejno z praw:

~ V xP(x)- A x~P(x),

Ax~P(x)-> /\ĄP(x)-*Q(x)],

A *!*(*)- Q{x)]- V x[P(x)->Q(x)].

Niech teraz Z, będzie dowolnym zdaniem reprezentowanym przez schemat V x(/>(x) a Q(x)], a Z₂ — odpowiednim zdaniem reprezentowanym przez ~ \/ xP(x). Znane prawo:

gwarantuje, żc z Z, wynika negacja Z₂, Z, wyklucza się więc z Z₂; nie jest jednak sprzeczne z Z₂, bowiem schemat:

~ V Qix)]-*~ V xP(x) jest oczywiście nictautologiczny.

11.3    Podamy przykładowe zdanie reprezentowane przez ostatnie dwa schematy:

(g)    Każda liczba jest kwadratem tylko jednej liczby dodatniej.

(h)    Każdy człowiek jest krewnym co najmniej dwu dorosłych osób.

II.5 Interpretując spójnik ..bądź. bądź" jako „co najmniej...", „co najwyżej..." i „dokładnie jedno z dwojga..." otrzymujemy kolejno następujące schematy :

Dła Z,:

(» ~ A*A•>'[*(*.y)-«(>'.*)1 V Ąxiv>*(*.>■)-*

-»v y*(y.

(2)    A * A >'[*(*. y)-» *0'. *)]^V - A x[ v y*C*. y)-*

- V >*(y, *)].

(3)    A * A >[*(*. >)-*^(y. V)] - A *1V y*(*. y)-»

-y >•*(>•.*)»•

Dla Z₃: <n~A*lV >■*(*• y)-* V >*iv. x))vA*A yw*. >■)-*

(2) A *1V y*(*. .V) - v >*(r. *>lv~ A*A    y>-

(30 A*IV y*(*. y)- V y*(y. *)1= A * A yW*.>•)-.

Korzystając z prostych praw kwantyfikatorowych łatwo wykazać, że (1) (a więc także (2')) jest tautologią. Zatem Z, jest logicznie prawdziwe przy pierwszej, u Z₂ przy drugiej z rozważanych interpretacji spójnika „bądź..., hądź".

11.6 Zdanie typu „Tylko niektóre A są B" bywa dwojako rozumiane:

(a)    Istnieją A będące B, lecz istnieją też A nic będące B.

(b)    Istnieją A będące B i nie ma B nie będących A. Interpretacji (a) odpowiada schemat:

V *!/*(*) a <?(.v)J a V *(?(*) a ~ ę(.v)j.

167