0127

129

§ 4. Niektóre zastosowania całek oznaczonych

Jeśli weźmiemy w szczególności a = — 1 i b = +1, to otrzymamy znane nam już wielomiany Legendre’a

X,(x) = c„

d%x²-\Y

dx"

Umówiliśmy się w ustępie 118, 6) oznaczać wielomiany Legendre'a przez P„(z), jeżeli stałe mają postać

<• = _L_ ₌    1

2 "n\    (2n)\\

Dla tych wielomianów mamy /*„( 1) = I, P„( — 1) = (—1)". Zazwyczaj przyjmuje się jeszcze, że Po W = 1. Wszystkie składniki wielomianu P„ mają wykładniki parzyste, jeśli «jest parzyste i nieparzyste, jeśli n jest nieparzyste.

Współczynnik przy wyrazie o najwyższej potędze jest oczywiście równy

2n (2n— 1) ... (n-f 1) _ (2/7-1)11 (2/7)1!    nl

Z samej definicji wielomianów Legendre'a wynika, że zawsze

(8)    f P„(x) Q (x) dx = 0

- I

dla dowolnego wielomianu Q (x) stopnia niższego od n. W szczególności, jeśli n i m oznaczają dwie nierówne liczby nieujemne, to

+i

(9)    J' P„(x) PJx) dx = 0 .

I

Znajdziemy teraz wartość całki J P* (x) dx; różni się ona od całki

-i

|-    . d’(x² - I)" _dx

J dx"    dx"

-i

jedynie czynnikiem cl = l/[(2n)!!]². Jeśli do ostatniej całki znowu zastosujemy wzór (7) z ustępu 311, zamieniając w nim n na n— I i przyjmując

u =

d"(x²-\)"

dx"

o = (jc²-!)",

to sprowadzimy ją do obliczenia całki

(-1)"

^ (x¹-\)*dx = 2-2/t! f(l-x*r<tx dx²"    J

o

(wszystkie składniki nie występujące pod znakiem całki są zerami, ponieważ funkcja v i jej pochodne aż do (n— l)-szej włącznie są równe zeru w punktach jr = 1 i x = — 1). Podstawiając tu ,v = sin t [porównaj 314, 2)], otrzymujemy

2-(2/1)1 •

(2//)!!

(2/7+1)11

r-^-r [(2/t)!!]² ,

2n -f I

czyli ostatecznie

(10)

2/i+ł

9 Rachunek różniczkowy