Ebook9

r>8

lim / (x”) — lim

m-»oo V / n-

_2_₌ 2

OO 3 -I- c */*«    »—o° 3 + <"ⁿ

2

3

nic istnieje.

Otrzymujemy dwie różne wartości, zatem granica lim

Jeżeli w określeniu granicy (właściwej lub niewłaściwej) funkcji f(x) w punkcie Jo zastąpimy sąsiedztwo S tego punktu przez sąsiedztwo lewostron nc .S'_ = (xo — <5,Xo) albo prawostronne S₊ = (xu,xo t <5), to otrzymamy określenie granicy jednostronnej, odpowiednio lewostronnej lim f(x) albo

x-*x

o

prawostronnej lim /(x).

*-**o

Twierdzenie 3.1. Funkcja f mu w punkcie x« granicę [właściwą lub nic właściwy) wtedy i tylko wtedy, gdy

lim /(x) = lim f(x).

I—Zo    *-x₍t

Wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicy funkcji.

Twierdzenie 3.2. {o trzech funkcjach) .leżeli funkcje, f _t g, /, określom w tym samym zbiorze X spełniają warunki:

1)    /(x) < g(x) ^ h{x) dla każdego x G X,

2)    lim /(x) = lim h(x) = a,

X-*Xq    X-*Xo

3)    Xq jest punktem skupienia zbioru X, to lim g(x) = a.

X—*Xo

Twierdzenie 3.3. (o dwóch funkcjach) Jcicl, /(i) $ _g(_x) _dla J_(uli,._go x należącego do pewnego sąsiedztwa liczby xo oraz lim f(x) = 4 00 to lim g(x) = +00.

x—*xo

Uwaga 3.2. Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie dla granicy niewlaśoi-wej funkcji równej -oc.

Twierdzenie 3A. (o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeżeli istnieje granica właściwa lim /(x) = g 1 funkcja h(z) jest ciągła w punkcie zo = g, to

Jim * (/(i)) = h (j.m f(x)) = h(g).

!)• linieją ciągłości funkcji będzie podium nieco później. Podamy teraz kilka ważnych granic funkcji:

sin f(x) /(*)-•<> f(x)

Hm

/(*)-.() f(x)

lim

1,

1,

smz lim	- lim	sin x	= 0,
*-•-00 X	X—oo	X
lirn^l.	In a	dla	« > 0,
x—0 X lim ( 1 -	1	\ /(*) )	— c,
/(x)—+oo \	/(*)
lim a^x as i	f 0	dla	0 € (1, -f-oo)
X—► —oc	[ 4-00	dla	ae (0,1),
lim a^x = i	f o	dla	a€ (0,1)
x-*+oo	4-oo	dla	« e (i, 4-00)

lim lnx = 4-oo, a-*+oo

lim Inx = -oo, 1—0+

7T

lim arctgx = —. x—+oo    2

lim arctgx = — —,

x-*-oo    2

lim arcctgx O, x—*+oo

lim arcctgx    n.

X— -oo

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

HlZYKLAD .'i. Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podano Uriuiicc funkcji:

A) lim arctg J,

ir *0    ¹

h) lim 8^tgI,