img483

PR/YKtAO 15.

Zbadajmy przebieg zmienności funkcji J'(x) 2x (x I)-'.

1.    Dy = (-00, +oo).

2.    Funkcja nie jest okresowa. Nie jest ani parzysta, ani nieparzysta (uzasadnij).

3.    Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji: f(x) = O o (2x(x — 1)² = 0 a x e Dy) <=> (x = 0 lub x = 1). Zatem punkty wspólne wykresu funkcji z osią OX to punkty (0, 0) oraz (1,0).

Teraz wyznaczamy punkt wspólny wykresu z osią OY. Ponieważ /(O) = 0, więc jest to punkt (0, 0).

= -oo, lim /(x) = +oo.

X-»+0O

4. Obliczamy lim f(x) = lim

X—>—CO

^r2x(x- 1)²

i 4

-00 +00

Z postaci dziedziny funkcji wynika, że nie ma asymptot pionowych wykresu. Z obliczonych granic wnioskujemy, że brak również asymptoty poziomej. Zbadajmy istnienie asymptoty ukośnej. Ponieważ

lim = lim 2(x - 1 )² = +oo, więc brak też asymptoty ukośnej.

5. W celu wyznaczenia pochodnej, wygodniej jest najpierw przekształcić wzór funkcji:

f(x) = 2x(x - 1 )², czyli f(x) = 2x³ - 4x² + 2x,

skąd

/'(x) = 6x² - 8x + 2 , czyli f'(x) = 2(3x² - 4x + 1).

Widzimy, że Df = Df. Dalej,

/'(x) = 0 «• (3x² - 4x+1 = 0 a X£ Df) <=> (x = 1 v x = 1),

f 0 ^_C°’ 3	-
l ^3		)

/'(x) > 0 «• (3x² -4x+1>0 a xe D_f) <=> x

1

. 1 ■

/' (x) < 0 x

6. Do zbudowania tabelki wygodnie jest najpierw zebrać wszelkie punkty, które wystąpiły w dotychczasowych obliczeniach. Mamy więc: 0 (miejsce zerowe), 1 (miejsce zerowe pochodnej), 1 (miejsce zerowe funkcji i pochodnej).

*	(-«. 0)	0	(o. i)	1 3	(i i)	1	(1,+oo)
/'(*)	+	+	+	0	-	0	+
m	-00	0	*	maksimum lokalne 8 27		minimum lokalne 0	+00 *

W tabelce wypełniamy drugi wiersz (dotyczący pochodnej funkcji), następnie wpisujemy w trzecim wierszu granice funkcji oraz wartości dla wyróżnionych argumentów i strzałki wskazujące czy funkcja w danym przedziale rośnie, czy maleje.

7. Szkicujemy wykres funkcji

Przykład 1 5. pokazał, w jaki sposób można naszkicować dokładniej wykres wielomianu, z którym spotykałeś się już w klasie drugiej.

PRZYKIAD 16.

1

Zbadamy przebieg zmienności funkcji f(x) =

Wobec parzystości funkcji / wystarczy znaleźć wykres funkcji

/ iM =

x²-4

x²-1

, x e (0, 1) U (1, +oo),

dokonać symetrii tego wykresu względem osi OY i obliczyć wartość funkcji / i ewentualnie wartość pochodnej w punkcie x₀ = 0.