89957 Matem Finansowa2

172 Zastosowania teorii procentu w finansach

Przykład 5.1.6

Jaki kapitał utworzy kwota 18 tys. zł złożona w banku na 3,75 lat, jeżeli bank proponuje oprocentowanie złożone z roczną kapitalizacją z dołu oraz roczną stopą procentową i= 20%?

Rozwiązanie:

W tym zadaniu czas oprocentowania kapitału jest liczbą rzeczywistą składającą się z części całkowitej i ułamkowej t =3,75. Końcową wartość kapitału możemy w tym przypadku obliczyć w sposób dokładny, korzystając z kalkulatora finansowego lub w sposób przybliżony korzystając z tablic funkcji finansowych.

Dokładna końcowa wartość kapitału początkowego K₀ =18 tys. zł jest równa

K₃₇₅= 18(1+0,2)^3,75 = 35,66

Odpowiedź: Kwota 18 tys. zł utworzy po 3,75 latach kapitał 35,66 tys. zł.

W celu wyznaczenia przybliżonej wartości końcowej kapitału skorzystamy z aproksymacji procentu złożonego przez procent prosty w ułamkowych okresach czasu oprocentowania.

Niech te(n,n+1) , t=n+x, -ce (0,1) wówczas

(l+i)^n+x =(l+i)ⁿ(1+it)    _in\

Wzór (5.10) otrzymujemy przez zastosowanie interpolacji liniowej (por. aneks A.6) do wyznaczenia wartości funkcji y=(1 +i)^x dla argumentu x = t = n+x. Równanie prostej prowadzimy przez punkty:

(x_1ly₁) = (n, (l+i)ⁿ) ;    (x₂,y₂) = (n+1, (1+i)ⁿ⁺¹) .

Wzór (5.10) pozwala wyznaczyć przybliżoną wartość kapitału z wykorzystaniem tablic funkcji finansowych

K₃₇₅ =K₀(l+i)³(l + (),75i),

K_{3 75} = 18(1,2)³ (1 +0,75 • 0,2)=18-1,728 • 1,15=35,77.

Przybliżona wartość zawsze przewyższa wartość dokładną, ponieważ dla ułamkowych okresów czasu procent prosty jest zawsze większy od procentu złożonego.