088 089

88 Damian Safęga. Tomasz Zuchowicz

Pewne komplikacje powstają w sytuacji, gdy funkcja F jest funkcją niejednoznaczną. Wtedy równanie (5.3) jest niejednoznaczne i może prowadzić do kilku rozwiązań nakładających się na siebie w efekcie czego otrzymamy kilka trajektorii przechodzących przez jeden punkt osobliwy lub punkt leżący w obszarze niejednoznaczności.

5.3. Płaszczyzna fazowa układu liniowego [2], [3], [4], [5]

W przypadku układu liniowego równania (5.2) przyjmą następującą formę: dx_]

Y'■

dx₇

co odpowiada równaniu różniczkowemu drugiego rzędu dla zmiennej x\ ~ x

dr x

dr

~^ai

dx

~dt

-a„x = 0

(5.5)

Jeśli a₀ * 0 to jedynym punktem osobliwym jest punkt jt| = x₂ = 0, zaś charakter rozwiązań jest określony przez wartości własne układu, czyli przez wartości własne macierzy współczynników równań (5.4)

A =

0

^ao

1

(5.6)

Wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego w postaci:

(5.7)

czyi i:

k² - a _xk - a ₀ - 0

(5.8)

Pierwiastki te są równe

k

1.2

£i

2

(5.9)

1 Rozpatrzmy teraz dwa warianty rozwiązań. Pierwszy dla wartości własnych I rzeczywistych gdy a² > - 4a₀, drugi dla wartości własnych zespolonych sprzężonych, gdy o,\ < - 4a₀.

1. Wartości własne rzeczywiste:

a) A] < 0, Z₂ < 0 obydwie wartości własne są ujemne, punkt osobliwy nazywa się węzłem stabilnym.

Rys. 5.2. Wykres węzła stabilnego

b) X\ > 0, A₂ > 0 obydwie wartości własne są dodatnie, punkt osobliwy nazywa się węzłem niestabilnym.

Rys. 5.3..Wykres węzła niestabilnego