24 luty 07 (75)

Zatem przejście od rzeczywistego obiektu (maszyny), czyli układu o nieskończonej liczbie stopni swobody, do modelu wiąże się z koniecznością podjęcia decyzji co do liczby stopni swobody modelu. Wybór nie jest łatwy i zależy od rodzaju maszyny oraz doświadczenia konstruktora. Niektóre typy maszyn nadają się w sposób oczywisty do zastąpienia modelami dyskretnymi (czasem nawet jednomasowy-mi), inne wymagają koniecznie opracowania modelu ciągłego.

Opis matematyczny modelu fizycznego nazywa się jego modelem matematycznym. Opisu dokonujemy za pomocą układu równań różniczkowych odpowiedniego typu: w przypadku układów ciągłych są to równania różniczkowe o pochodnych cząstkowych najczęściej drugiego i czwartego rzędu, w przypadku układów dyskretnych są to równania różniczkowe zwyczajne najczęściej rzędu drugiego.

Bardzo często (wymagają tego w szczególności komputerowe metody obliczeń) układ równań wyższego rzędu zastępuje się równoważnym układem równań pierwszego rzędu i nadaje się im postać wektorowo-macierzowego zapisu w postaci tzw. równań stanu.

Równania stanu układu mają postać

q = A(t)q + B(t)F    (3.89)

gdzie:

A(t) - jest macierzą stanu o wymiarach nxn,

B(t) - jest macierzą wymuszeń o wymiarach nxl, p - jest wektorem wymuszeń o wymiarze /,

nazywamy wektorem stanu, a jego składowe q₁,q₂,...,q_n zmiennymi stanu.

Przestrzeń n-wymiarowąo współrzędnych q₁,q₂,...,q_n nazywa się przestrzenią stanów.

Jeżeli macierze A(t) i B(f) nie zależą od czasu (składają się ze stałych wyrazów), to układ równań (3.89) jest stacjonarny.

Należy jednak podkreślić, że nie zawsze stosowanie metody wektorowo-macierzowego zapisu równań jest konieczne. W prostszych przypadkach możemy bezpośrednio rozwiązać zadany układ równań różniczkowych.

W przypadku układu mechanicznego układ równań różniczkowych opisujących model fizyczny nazywamy układem równań dynamicznych ruchu, a rozwiązanie takiego układu pozwala dla zadanych warunków początkowych wyznaczyć

225