CCF20090303098

200 Uzupełnienie 3

200 Uzupełnienie 3

(4) Geometria metryczna (Euklidesowa) (3) Geometria afiniczna (2) Geometria projekcyjna (1) Topologia

Tabela 4 Różne geometrie

Nie jest łatwo opisać fundamentalną relację zachodzącą pomiędzy wyższymi dyscyplinami geometrycznymi wyliczonymi w tabeli 4 a niższymi, lecz z całą pewnością nie jest to relacja redukował ności. Na przykład geometria metryczna, zwłaszcza w formie geometrii Euklidesowej, jest tylko fragmentarycznie redukowalna do geometrii projekcyjnej, nawet jeżeli wyniki geometrii projekcyjnej obowiązują w geometrii ^metrycznej wyrażonej w języku dostatecznie bogatym, aby można było posługiwać się w nim geometrią projekcyjną. Możemy więc uważać geometrię metryczną za wzbogacenie geometrii projekcyjnej. Podobne stosunki zachodzą pomiędzy pozostałymi poziomami tabeli 4. Wzbogacenie ma charakter po części pojęciowy, lecz głównie polega na większej ilości twierdzeń.

Medawar twierdzi, że relacje pomiędzy kolejnymi poziomami tabeli 3 mogą być analogiczne do relacji pomiędzy poziomami w tabeli 4. A zatem chemię można uważać za wzbogacenie fizyki, co wyjaśnia, dlaczego jest ona częściowo, chociaż nie całkowicie, redukowalna do fizyki, i podobnie w przypadku wyższych poziomów tabeli 3.

A zatem dziedziny wymienione w tabeli 4 nie są reduko-walne do dziedzin na niższych poziomach, nawet jeżeli niższe poziomy - w bardzo wyraźnym sensie - obowiązują na poziomach wyższych i są w istocie w pewien sposób zawarte w dziedzinach z wyższych poziomów. Ponadto pewne twierdzenia dziedzin z wyższych poziomów są redukowalne do twierdzeń niższych poziomów.

Uwagi Medawara uważam za bardzo sugestywne. Można je oczywiście zaakceptować tylko wówczas, gdy odrzucimy ideę, że nasz fizyczny Wszechświat jest deterministyczny - że teoria fizyczna, wraz z warunkami początkowymi obowiązującymi w danym momencie, całkowicie określa stan fizyczny Wszechświata w dowolnym innym momencie. Gdybyśmy mieli zaakceptować determinizm Laplace’ a, wówczas tabeli 3 nie można byłoby uważać za analogiczną do tabeli 4.

Wyższe poziomy obu tych tabel można uważać za dziedziny zawierające nowe fundamentalne hipotezy (nowe aksjomaty), nie dające się wyprowadzić z hipotez (aksjomatów) na niższych poziomach, i nowe pojęcia fundamentalne, nie dające się zdefiniować w kategoriach pojęć z niższych poziomów.

W przeciwieństwie do tego, idea redukcjonizmu głosi, że na wyższych poziomach nie pojawia się nic nowego.

A zatem jeżeli sformalizujemy (zaksjomatyżujemy) nasze hipotezy fizyczne, wówczas zgodnie z redukcjonizmem każde pozornie nowe pojęcie powinno być redukowalne (definiowalne) za pomocą pojęć fizycznych, a zatem są one w zasadzie zbędne; z kolei każda nowa hipoteza - w obecności takich definicji - powinna być dedukowałna logicznie z podstawowych hipotez sformalizowanego lub zaksj ornatyzowanego systemu fizyki.

IV

Istnieją powody logiczne, aby wątpić, czy redukcjonistycz-ny program - który można wyrazić w czysto logicznych kategoriach - da się w ogóle przeprowadzić. Wymienię kilka z nich.

Rozważmy program podobny, to znaczy program zredukowania matematyki do logiki: program ten znalazł kulminację w dziele Principia Mathematica Whiteheada i Russella, które jest wybitnym osiągnięciem, ale także - w opinii kompetentnych matematyków - porażką, przynajmniej gdy idzie o redukcjom styczne aspekty tego programu. Czysta logika odgrywa ogromnie ważną rolę w matematyce. Matematyka jest jednak bogatsza niż logika (funkcjonalna). Można to zrozumieć na przykładzie odkryć Godła: w każdym aksj ornaty cz-nym systemie dla teorii liczb powstają problemy, których nie można logicznie rozstrzygnąć w tym systemie aksjomatycz-nym, lecz tylko w systemie od niego silniejszym. (W tym