DSC07110 (5)

150

Badanio funkcji

e) Dziedziną funkcji qjest przedział (O,cc). Dla x > 0 mamy q (*) = 3+21nx. Tak więc

_3'

q"(x)> 0<=>3 ł 2lnx > 0<=>x > e~*.

Żalem funkcja q jest ściśle wypukła na przedziale ^c“3.ooj . Podobnie

q"(x) <0<=>3 + 2lnx< 0<=»0< x<e~5.

Żalem funkcja q jat fciśle wypukła na przedziale (o,c“l) . Ponieważ funkcja 7 zmienia w punkcie rodzaj wypukłości, zatem punkt (c^-^,-^c^-3) jest punktem przegięcia jej wykresu.

f) Dziedzinę funkcji r jat R. Dla x G R mamy

r^H{x) = (z^a + 4z + 3) c*.

Zbadamy niżej, dla jakich x druga pochodna funkcji r jest dodatnia. Mamy

r* >0<=> (x^a+4x + 3)e*>0e=>x^a + 4x + 3>04=>z€ (-00, —3)U (—l,oo).

Zatem funkcja r jest fciśle wypukła na przedziałach (—00,3) oraz (—l,oo). Podobnie

r" < 0<=> (z^a+4* + 3)e^r <0<=>z^a + 4x + 3< 0<=>x € (-3,-1).

Zatem funkcja r jat fciśle wklęsła na przedziale (-3, -1). Z powyższych rozważań wynika ponadto, że funkcja r w punktach 21 = -3, za = —1 zmienia rodzaj wypukłości. Zatem w punktach (-3,10e“^a), (l.2e~^ł) wykres funkcji r ma punkty przegięcia.

g)    Funkcja u jot wielomianem, zatem jej dziedziną oraz dziedziną wszystkich pochodnych jest 5L Manty

u {z) = 8x^a(x- 2)^a (7x^ł - 14x + 6).

Zbadamy, gdzie druga pochodna jest dodatnia. Mamy

u"(x) > 0 <=> 8x^a(x — 2)^a (7x^a — 14x + 6) > 0

<=> x 6 (-co.O)U (0,xi)U (x₂.2) U (2.co).

gdzie xj = - oraz xz ==    Zatem funkcja u jat wypukła na przedziałach

(-oc,0), (O.zt), (x],2), (2,oo). Zauważmy, że przedziały (-oo,0), (0,Xi) ^tykają” się w punkcie 0, a przedziały (23,2), (2,00) w punkcie 2. Ponadto funkcja u jest różniczko-walna w tych punktach. Stąd wynika, że badana funkcja jest wypukła na „połączonych" przedziałach (-oo,X|). (zj.oo). Analogicznie można pokazać, że na przedziale (xi,xa) badana funkcja jot fciśle wklęsła. Ponieważ w punktach X|, 22 funkcja u zmienia rodzaj wypukłości, więc punkty

aą miejscami przegięcia jej wykresu.

h)    Dziedziną funkcji v oraz jej piewszej i drugiej pochodnej jat zbiór

Przykłady

151

Obliczalny drugą pochodną. Mamy

«"(*) = -

2sinz

Ponieważdruga pochodna jest funkcją o okresie ir, więc badanie jej znaku można ograniczyć do dowolnego przedziału o długości «, np. do    . W tym przedziale mamy

2snż

>0

sin z < 0 <=> z €

Zatem funkcja u jest ściśle wypukła na przedziale    . Rozumując podobnie otrzymamy, że funkcja v jest ściśle wklęsła na przedziale ^0,    . Ponieważ w punkcie x = 0

druga pochodna badanej funkcji zmienia znak, więc punkt (0, »(0)) = (0,0) jest miejscem przegięcia jej wykresu. Uwzględniając teraz fnkt, że druga pochodna jest funkcją okresową wnioskujemy, że funkcja i» jest ściśle wypukła na przedziałach postaci +

ściśle wklęsła na przedziałach (kn, ^ + kn^j, gdzie fc € Z, a w punktach {kit, u {for)) = (kx,kx) gdzie k € Z. jej wykres ma punkty przegięcia.

i) Dziedziną funkcji w jest R. Druga pochodna tej funkcji także jest określona na R i ma postać

,    2(1-3**)

Tak jak w poprzednie!) przykładach zbadamy znak drugiej pochodnej. Mamy

w"(x) > 0 «

Zatem funkcja u; jest ściśle wypukła na przedziale

2(l-3x⁴)    ,,    .    iię

V77T^>0~ "R^<a*W

badana funkcja jest ściśle wklęsła na przedziałach ^-oo,—. Zatem nktami przegięcia wykresu funkcji w są punkty

(~'k))⁼Bi (w¹" (^))iSil

Analogicznie ustalimy,

Badanie funkcji

• Przykład 6.5

Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:

lnx

a) /(x) = r -3*' + 4; b) g(x) =

d) p(x) =

W s(x) =

i-*³’

x (x³ + 10)

X³ + 1