DSCN0470 (Large)

i« ZASTOSOWANIE MODELU d-q MASZYNY UOGÓLNIONEJ 57

i5,i Przedstawienie wielkości sinusoidalnie zmiennych w czasie za pomocy liczb zespolonych

Dowolną wielkość fizyczną sinusoidalnie zmienną w czasie ze stałą pulsacją a> można przedstawić za pomocą wskazu będącego obrazem tej wielkości na płaszczyźnie liczbowej (płaszczyźnie zmiennej zespolonej) w chwili czasowej t = 0 [2]. Jeżeli wielkość taką można wyrazić jako:

x(l) m Re {y/2 Xc^1(a,+a>}    (2.46)

to odpowiadający jej wskaż definiuje się następująco:

X»Xe"    (2^

I odwrotnie: jeżeli dany jest wskaż (2.47), to odpowiada mu wielkość oi zależnością (2.46) lub równoważną

x (/) = Re {-JlX [cos (oi +a) +jsin (a>f+«)]}

W powyższych zależnościach a oznacza początkowy kąt przesunięci (w czasie) wielkości x (r) lub początkowy kąt przesunięcia wskazu X na pła liczbowej, odmierzany od dodatniego kierunku osi rzeczywistej w stronę dodatniego kierunku osi urojonej.

Niech będzie dany prąd / (/), którego wartość chwilową określa zależność

/(/) = yjl I cos (cot+(p)    (2.49)

w której: / — wartość skuteczna prądu; (p - początkowy kąt przesunięcia fazowego; o) - pulsacja.

Korzystając ze wzoru Eulera

cos(a>f+?)+jsin (<ot+q>) = e^J("^,+*⁾ *=    e*'e*    (2.50)

wartość chwilową prądu / (0 można wyrazić jako:

1(1)* Re [yfllc^e**¹] lub

1(1) = Re [72/e^']    (2.51)

gdzie

1=1 eł^ę    (2.52)

Równanie (2.51) przedstawia związek między wartością chwilową /(/) a liczbą zespoloną / odpowiadającą nieruchomemu wskazowi na płaszczyźnie liczbowej. Liczba zespolona / w pełni określa wielkość fizyczną. Moduł tej liczby (długość wskazu) równa się wartości skutecznej wielkości fizycznej a argument tp (początkowe przesunięcie wskazu) określa fazę tej wielkości w czasie. Natomiast z definicji wiadomo, że dana wielkość fizyczna zmienia się w czasie z pulsacją co.