Wyznaczenie odstępu geoidy od elipsoidy
metodą grawimetryczną
Systemy wysokości w geodezji
"łQ2
ńł
"T 1
0
0
�łAg = - "n0 + ł "n0 T [1]
�ł
�ł
�łN = TP [2]
�ł
ł
ół
1
N = Ag �" S(�,� )ds [3]- wzór Stokesa
+"+"
+"+"
4ĄRł
4ĄRł
s
"
2n +1 Rn 2 1 5R cos� + 3r 3R cos� � + r - R cos�
S(�,� ) = Pn(cos� ) = + - - ln
"
n+1 2 2
n -1 � r � � � 2�
n=2
�
r = 2R sin
2
ds = R2 sin�d�dA
2
Konieczne założenia dla wzoru Stokesa
Uproszczenie dla stanowiska na geoidzie (�=R):
1
1
N = Ag �" S(� )ds [4]
+"+"
4ĄRł
s
1
�
S(�) = - 6sin� +1- 5cos 2� ln(sin� + sin2 � )
� =
ds = R2 sin�d�dA [5]
cos�
2
3
Odstęp dla szczególnych warunków:
1. W0`"U0 i spełnione pozostałe warunki (Pizzetti):
1 1
�łS(� ) - łłds [6]
NPizeetti _1 = Ag �"
+"+"
�ł
4ĄRł 2śł
�ł �ł
s
2. W0`"U0, różne środki mas i różne masy geoidy i elipsoidy (T1) (Pizzetti):
1 T1 2(W0 -U0)
NPizeetti _ 2 = Ag �"[S(� ) -1]ds + + [7]
NPizeetti _ 2 = Ag �"[S(� ) -1]ds + + [7]
+"+"
+"+"
4ĄRł ł ł
4ĄRł ł ł
s
Odstęp dla funkcji Helmarta i współrzędnych biegunowych (�,A):
Ą 2Ą
R
1 1 �
N = Ag �" F(� )d�dA [8] F(� ) = S(2�)sin(� ) = S(� )sin [9]
+" +"
2 2 2
2Ął
0 0
Uzupełnienie dla Ziemi elipsoidalnej (R(a,b)):
1- 3sin2 �
Ne = N + N e2 [10]
4
4
Praktyczne wykorzystanie wzoru Stokesa:
Aj+1
�
i+1
n m � "(0;Ą )
R
N = Agij �" F(� )d�dA [11]
A"(0;2Ą )
""
+" +"
2Ął
i=0 j=1
� Aj
i
Wydzielenie składowych odstępu geoidy od elipsoidy:
Agwp = AgGM + AgStokes + AgDTM [13]
N = NGM + NStokes + NDTM [12]
nmax n
max
N = R
NGM = R cos n + S sin m)P (sin�) [14]
""(C cos n + Snm sin m)Pnm(sin�) [14]
""(Cnm
n=2 m=0
nmax
n
AgGM = G
"(n -1)"(C cos n + Snm sin m)Pnm(sin�) [15]
nm
n=2 m=0
AgStokes = Agwp - AgGM - AgDTM [16]
5
Uproszczenie dla niewielkiego obszaru - aproksymacja geoidy płaszczyzną w bliskim otoczeniu (s):
Ą 2Ą
R
N = Ag �" F(� )d�dA
+" +"
2Ął
0 0
1 2 2R s
S(� )pł H" H" H" [17] Nw H" AgP [18]
�
� s G
sin
2
Ag
Nxy = [19]
(x,y)
2ĄG x2 + y2
6
Systemy wysokości w geodezji
Postulaty dla wyboru systemu wysokościowego:
P
HP - H0 =
P 0
+"dh + (ś -ś ) [20]
0
f.p.Z.
P
A
WA
WA
dhi
Wi+1
gi
dHP
dHA
Wi
dh1
W0
O
(mareograf)
B
7
Wartość geopotencjalna i cecha (wysokość) geopotencjalna
f.p.Z.
P
A
WA
dhi
Wi+1
gi
dHP
dHA
Wi
geopi
dh1
W0
geoida
O
(mareograf)
B
Niwelacja: OAP lub OBP lub OP(dh) różne wyniki
8
Wartość geopotencjalna punktu P:
P
CP = W0 -WP = gdh [21]
+"
0
P
CP 1
CP 1
g
g
H = = gdh [22]
HP = = gdh [22]
+"
+"
ł ł
k k
0
Podział na część geometryczną i geoidalną (g=łk+(g-łk) [23]):
P P
P
1
1
g
HP =
k
k
+"dh + ł +"(g - ł )dh P.G.P = ł
+"(g - ł )dh [24]
k
0 0 k
0
9
Dla przewyższenia:
R
g 1
"HP-R = "hP-R + P.G.P-S
P.G.P-R =
"(g - ł )i "hi [25]
k
ł
P
k
Własności wysokości geopotencjalnej i teoretyczna odchyłka ciągu
zamkniętego
10
Wysokość (cecha) dynamiczna  redukcja wysokości
P
CP 1
d
HP = = gdh [26]
45 45
+"
ł ł
0 0
0
Wysokość jest zatem odniesiona do powierzchni elipsoidy poziomowej na
równoleżniku 45�.
R
CP CR 1
d
"HP-R = - = gdh [27]
"HP-R = - = gdh [27]
45 45 45
45 45 45
+"
+"
ł ł ł
ł ł ł
0 0 0
P
R R
d 45
"H =
P-R ""h + ł1 "(g - ł )"hi [28]
i 0
45
P P
0
R
1
45
P.DP-R =
"(g - ł )"hi [29]
0
45
ł
P
0
Własności:
11
Wysokości ortometryczne
P
CP W0 -WP 1
o
HP = = = gdh [30]
+"
gP gP gP 0
f.p.Z.
P
A
WA
M
dh
dhi
W
Wi+1
gi
dHo M
HoP
Wi
gp
geopi
gPi
dh1
W0
geoida
O
(mareograf)
B
P P P
o
gdh = gPidH = gP
+" +" +"dh
0 B 0
12
Problem obliczenia przeciętnej wartości przyspieszenia:
1. Metoda Helmerta
"g
gM = gP + (HP - HM ) - 2�"(2ĄG� )(HP - HM ) [31]
"h
Wykorzystanie jednorodnej kulistej Ziemi (RZ, �Z):
GM 4
GM 4
Z
1. gP = = GĄRZ� [32]
Z
2
RZ 3
2ĄG� 3 � HP - HM
2ĄG� (HP - HM ) = gP (HP - HM ) = gP [33]
gP 2 � RZ
Z
"g 2gP
2. H" [34]
"h R
�ł �ł
HP - HM � HP - HM �ł
�ł
gM = gP �ł1+ 2 - 3 [35]
RZ � RZ �ł
�ł Z łł
13
Przeciętna wartość przyspieszenia:
P
�ł �ł
1 gP P HP - HM � HP - HM �ł
gM = gM dHM = - 3 = GP [36]
o o
+" +"�ł1+ 2 RZ
HP 0 HP 0 �ł � RZ �łdHM
�ł Z łł
o o o
�ł �ł �ł �ł
HP 3 � HP �ł HP �ł
3 �
�ł �ł
GP = gP�ł1+ - = gP�ł1+� [37]
� = 1- [38]
2 �
RZ 2 � RZ �ł RZ �ł
Z
�ł łł �ł łł
�ł Z łł �ł łł
P
Wysokość ortometryczna:
1
o
HP = gdh [39]
+"
GP 0
Wydzielenie części geometrycznej i geoidalnej:
gi = GP + (gC - GP ) + (gi - gC ) [40]
�m
gC = const = np. (ł )
0
n n n
- 1
o
HP =
""h + gCGPGP ""h + GP "(g - gC )"hi [41]
i i i
i=1 i=1 i=1
14
Różnica wysokości ortometrycznych oraz teoretyczna odchyłka zamknięcia
ciągu niwelacyjnego
R R
1
o 2 2
P R
"HP-R =
""h + � HP + � HR - G "h "gi [42]
i i
RZ RZ
P P
R
1 1
2 2
P.OP-R = (� HP -� HR)-
R "h "gi [43]
i
RZ P G
P
15
2. Metoda Ramsayera i Niethammera  dla obszarów górskich i wysokogórskich
a) Inny sposób obliczania przyspieszenia przeciętnego na drodze geoida-f.p.Z.
G = g + Rgwp + 2RgB + RT + RT 2 [44]
dla M czyli 1/2H; brak RT we wzorach Helmerta
b) Inny sposób sumowania
R R
n
Hdg [45]
"(g - gC )"hi
i
+"(g - gC )dh = (gR - gC )HR - (gP - gC )HP - +"
i=1
P P
n n n
- 1
o
HP =
""h + gCGPGP ""h + GP "(g - gC )"hi [46]
i i i
i=1 i=1 i=1
R R
Hdg
+"(g - gc )dh = (gR - gc )HR - (gP - gc )HP - +"
P P
16
n R
1
o 2 2
P R
"HP =
""h + � HP - � HR + "gTP HP - "gTR HR - G "H "gi [47]
i i
RZ RZ G G
i=1 P
P.O. - Ramsayer
n R n
- - 1
o
o
"H =
"HP =
""h + GP - GR H + gc - GR ""h + 1 "(g - g )"h [48]
""h + GPGRGR HP + gcGRGR ""h + GR "(g - gc )"hi [48]
i i i
i=1 P i=1
P.O. - Niethammer
17
Wysokości normalne Mołodeńskiego  system wysokości normalnych
P
CP W0 -WP 1
"ł 2ł
n n
ł = ł - H = ł - [50]
HP = = = gdh [49] 0 0
+" "h RZ
ł ł ł
P P P
0
f.p.Z.
P
WP
W
W2
U
U2
dhi
U1
W1
dHn
gi
sferop1
łi
ł
ł
ł
W0
geoida
O
(mareograf)
B
U0
ł0
ł
ł
ł
elipsoida
18
Wysokości normalne Mołodeńskiego
W0 -WP `" U0 -UP = U0 -UT [51]
f.p.Z.
P
WP
T
UT = WP
łT
łT
ł
ł
ł
ł
ł
ł
W
W2
U
U2
dhi
U1
W1
dHn
gi
łi
ł
ł
ł
W0
geoida
O
(mareograf)
B
U0
ł0
ł
ł
ł
elipsoida
19
Wysokości normalne Mołodeńskiego
P
U0 -UT 1
n
HP = = gdh [52]
+"
ł ł
P P
CP = W0 -WP = U0 -UT [51] 0
f.p.Z.
P
WP
T
(t)
UT = WP
łT
łT
ł
ł
ł
ł
ł
ł
W
W2
U
U2
dhi
U1
W1
dHn
gi
łi
ł
ł
ł
W0
geoida
O
NP ł0P
ł
ł
ł
(mareograf)
B
U0
ł0
ł
ł
ł
elipsoida
20
Własności telluroidy (t):
P
n
CP W0 -WP 1
n
dC C dC H
n
HP = = = gdh
+"
dH = - dł = - dł [53]
ł ł ł
P P P 2
0
ł ł ł ł
dC = U0 -UT = gdh = łdh + (ł - ł )dh + (g - ł )dh [54]
gdh (ł - ł ) (g - ł ) dC
= dh + dh + dh = [55]
ł ł ł ł
n
ł - ł H g - ł
n
dH = dh + dh - dł + dh [56]
ł ł ł
21
n
ł - ł H g - ł
n
dH = dh + dh - dł + dh [57 = 56]
ł ł ł
g - ł = Ag = gP - łT [58]
P P
P 0 0
P
+"(ł - ł )dh H" +"(ł - ł )dh [59]
0 0
n
n
ł - ł H h
ł - ł H h
dh - dł = - dł [60]
0
ł ł ł
h g - ł
n
dH = dh - dł + dh [61]
0
ł ł
22
R
n
"HP-R =
""h + P.N. [62]
i
P
R R
1 1
P.N.P-R = -
"(ł - ł )i hi + ł "(g - ł )i "hi [63]
0 0
P
ł
P P
hi  średnia wysokość odcinka (i)
� �
R
-
A 0 B 0
P.N.P-R =
"(gł ł )i "hi + ł ł- ł HP - ł ł- ł HR [64]
� �
P
P 0 0
45 45
ł - ł ł - ł
A 0 B 0
P.N.P-R = P.D.P-R + HP - HR [65]
45 45
ł ł
0 0
23
Schemat dla wysokości normalnej i elipsoidalnej
n
hP = HP + ś [66]
P
24
Zamiana wysokości w różnych systemach wysokościowych
CP
X
X
HP =
CP = HP �" ( przyspieszenie)X [67]
( przyspieszenie)X
d o n
CP = HP �"ł = HP �"GP = HP �"ł [68]
0,45 P
ł ł
ł ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
ł ł
ł ł
o n d 0,45 d 0,45
P P
HP = HP �" = HP �" �ł �ł �" �ł �ł = HP �" �ł �ł [69]
�ł �ł �ł �ł �ł
GP ł GP GP �ł
�ł P łł �ł łł �ł łł
25
Odstęp quasi-geoidy od geoidy
n niw
"H = "hAB + P.N.AB
AB
n o
"H - "H = P.N.AB - P.O.AB [70]
AB AB
o niw
"H = "hAB + P.O.AB
AB
o
n
H = hA - N
H = hA -ś
A A
A A
o
n
"HAB = NA - NB [72]
"H = ś - ś [71]
n
o
AB A B
HB = hB -ś
H = hB - NB
B
B
n o
"H - "H = ś - ś - N + NB = (NB - ś ) - (N - ś ) [73]
AB AB A B A B A A
n o
"HAB - "HAB = ("N )B - ("N )A [74]
ś ś
("N )B - ("N )A = P.N.AB - P.O.AB [75]
ś ś
ł - GA ł - GB
A B
G - ł
("N )B - ("N )A = HA - HB [76]
o ś ś
45 45
ł ł
"N = H [77]
0 0
ś
ł
26
Rozwinięcie wzoru i uproszczenia:
o n "g
"g H "ł H
= G
g + + RgB - (ł - )
"h
0
G - ł
o o
"h 2 "h 2
"N = H = H "ł
ś
= �
ł ł
"h
o n o n
H H H H
o
g + G + RgB - (ł - � ) g + GH - G + RgB - (ł - � )
0 0
o o
2 2 2 2
"N = H = H =
ś
ł ł
n o o o
H H H + N -ś H
(g + Rgwp + RgB - ł ) + � - G AgB + � - G
0
AgB o (� - G) �(N -ś )
o2 o
B
o o
o o
2 2 2 2
2 2 2 2
H + H + H
H + H + H
= H = H =
= H = H =
ł 2ł 2ł
ł ł
� �" "N o
AgB o (� - G)
o2 ś
"N = H + H + H [78]
ś
ł 2ł 2ł
27