3226794624

5. SZEREG HARMONICZNY RZEPU a (DIRICHLETA)

szereg zbieżny (zb.) szereg rozbieżny (rb.)

¹    1    1    _ y i _ f« > i

⁺ 2" ⁺ 3“ ⁺ 4^a +    ~ Zj n^a ~ I ⁰ < « ² 1

71=1    ^K

Uwagi: szereg anaharmoniczny ^h^iC^- l)^,l+1 ■ ^ jest warunkowo zbieżny. 6. RESZTA SZEREGU

Szereg r_n = T*=n+i^ak ⁼ a»+i + ^an+ 2 + ••• otrzymany przez pominięcie n początkowych wyrazów szeregu X“₌₁ o,, = «i + «2 + ... nazywamy w-tą resztą szeregu Yfk=i a*.

,00 00 ,00 \

Własności:    I zb. a,, £=> zb. ^ a* = r_n J    A I zb. a_n =* lim r„ = O J

V 7i= 1    k=n+l    '    V 7i=l    /

7. WARUNKI ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

WARUNEK KONIECZNY zbieżności szeregu:

00

zb^ a„

71=1

lim a_n = O

M-»00

WARUNEK KONIECZNY I WYSTARCZAJĄCY zbieżności szeregu (Cauchy'ego):

A V A

oo

zb^a_?1 <s>

77 = 1

f > O k 6 N n, m G N

71+ 771	\
Z^a"	^<£
fc = 77+ 1	/

8. KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Obliczanie sumy szeregu nie zawsze jest łatwe i konieczne. Często wystarcza rozstrzygnięcie czy szereg jest zbieżny czy rozbieżny. Służą temu kryteria zbieżności szeregów.

Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny.

A.    K ryte rju mp pro w na wę z e

Jeżeli dla szeregów £a„. Z^7i ° wyrazach nieujemnych dla prawie wszystkich n, prawdziwa jest nierówność O < a,, < b_n, to:    zb.'Zbn => zb.Zo,, oraz rb.Zo,, =* rb.^b,,.

B.

K.r.yte.r.ju.m..po rów na wcze.jjo razowe.iąsymp.t.ot^

a,

^lini TT ⁼ 9

71^00 0 „

zb. (ib.)X«7i ~ zb. (ib.)X^7i dla O < g < od _a?l < b_n zb.^b,, => zb.Za„    dla g = O A a_n > O

rb.^b,, => rb.Za,,    dla g = oo    > O

C.

D.

Kryterium	Cauchyepo
		zb.£o»	dla	0<1
lim "Jan =	^ =>	rb.Ea,,	dla	0>1	A	a„ > 0
11—* CO		^ nie rozstrzyga	dla	9 = ^1
Kryterium	cTAIemberta
.. «71+1 lim-=	»- i	zb.Xa„ rb.£a„	dla dla	9< 1 0 >1	A	^r a„ > 0
u—> co a„		nie rozstrzyga	dla	0 = 1		V

© Copyright by Ewa Kędzi orczyk

-89-

w w w. /no tein a tyka.s osnowiec.pl