��Rozwizania r�wnaD Ficka
jednokierunkowych czyli tylko jedna zmienna poBo|enia x
I r�wnanie:
"c(x)
J(x) = - D
"x
II r�wnanie:
Gdy D nie zale|y od koncentracji
"c "2c
= D
"t "x2
W rzeczywisto[ci zaBo|enie, |e wsp�Bczynnik dyfuzji nie zale|y od st|enia dyfundujcej
substancji w jakim[ materiale jest na og�B prawdziwe tylko dla odpowiednio niskich
st|eD. Jak niskich zale|y to od dyfundujcej substancji i materiaBu.
Dyfuzja w stanie stacjonarnym
Stan stacjonarny to stan ukBadu, w kt�rym st|enie dyfundujcej substancji
nie zmienia si z czasem, chocia| st|enie to nie jest
jednorodne w objto[ci materiaBu.
1. W rzeczywistych ukBadach fizycznych, zwBaszcza skBadajcych si z materiaB�w staBych,
stan stacjonarny dyfuzji jest raczej rzadko spotykany.
2. Najcz[ciej dotyczy on sytuacji, gdy zachodzi dyfuzja jakiej[ substancji ze [rodowiska ciekBego
lub gazowego do takiego samego [rodowiska poprzez przegrod wykonan z jakiego[ staBego
materiaBu.
3. Je[li po obu stronach przegrody (najcz[ciej jest to cienka pBytka lub membrana) st|enia
dyfundujcej substancji s r�|ne ale staBe w czasie, to po pewnym czasie w poprzek
membrany ustala si stacjonarny rozkBad st|enia, kt�re zmienia si w spos�b cigBy od
wikszego st|enia na jednej powierzchni do mniejszego st|enia na drugiej.
4. Poniewa| w stanie stacjonarnym gradient st|enia dyfundujcej substancji jest staBy w czasie,
to tak|e staBy w czasie jest strumieD dyfundujcej substancji.
"c
W stanie stacjonarnym:
= 0
"t
"2c
Zatem, z drugiego r�wnania Ficka wynika, |e: D = 0
"x2
Dyfuzja przez pBytk materiaBu w stanie stacjonarnym
Przypadek, gdy wsp�Bczynnik dyfuzji nie zale|y od koncentracji: D(c) = const
"2c "2c
Rozwizaniem jest r�wnanie: c(x) = a + bx
D = 0 �! = 0
Co mo|na sprawdzi przez podstawienie
"x2 "x2
gdzie a i b s dowolnymi staBymi.
Aby wyznaczy warto[ci a i b dla konkretnej sytuacji
nale|y skorzysta z warunk�w brzegowych, kt�re w tym
przypadku s nastpujce:
cA(0) = c1 = const oraz cA(d) = c2 = const
Wiksze Mniejsze
st|enie A st|enie A
d grubo[ pBytki
cA(0) = a = c1
Zatem:
c2 - c1
cA(d) = a + bd = c1 + bd = c2 �! b =
d
c2 - c1
cA(x) = c1 + x
St|enie substancji A w pBytce dane jest zatem wzorem:
d
StrumieD dyfundujcej substancji A mo|na obliczy z I r�wnania Ficka:
"cA(x) c2 - c1 c1 - c2
JA = -D = -D = D
"x d d
Dyfuzja w stanie stacjonarnym
przez pBytk skBadajc si z dw�ch r�|nych materiaB�w
Rysunek przedstawia pogldowo
MateriaB 1 MateriaB 2 sytuacj, gdy D1 > D2
grubo[ d1 d2
wsp�Bczynnik D1=const `" D2=const
dyfuzji
Warunki brzegowe:
c(0)=c1 oraz c(d1+d2)=c2
Na granicy midzy obydwoma materiaBami staBe
st|enie dyfundujcej substancji wynosi c12 i jest
ono a priori nie znane. Jego warto[ nale|y obliczy.
Otrzymane poprzednio rozwizania mo|na
zastosowa do ka|dego z materiaB�w osobno:
c1 - c12 c12 - c2
c1 - c12 c12 - c2
Czyli:
J1 = D1 J2 = D2
D1 = D2
d1 d2
d1 d2
Strumienie dyfundujcej substancji musz by
A po przeksztaBceniach:
r�wne w obu materiaBach:
D1d2c1 + D2d1c2
c12 =
J1 = J2
D1d2 + D2d1
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z tzw. zr�dBa chwilowego (nieskoDczenie cienkiej warstwy) do dw�ch p�BnieskoDczonych
stykajcych si takich samych materiaB�w, tzw. ukBad kanapkowy (ang. sandwich) lub do
jednego p�BnieskoDczonego ciaBa, tzw. dyfuzja z cienkiej warstwy.
Rozwizania:
�# �# �# �#
M/ � x2 M/ � x2
�# �#
c(x,t) = exp�#- �# c(x,t) = exp�#- �#
�# �#
4Dt 4Dt
2 Dt Dt
�# �# �# �#
gdzie: M ilo[ substancji A przypadajcej na jednostk powierzchni, znajdujca si w chwili
pocztkowej (czyli dla t = 0) na powierzchni materiaBu B lub midzy dwoma
materiaBami B (czyli dla x = 0).
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z tzw. zr�dBa chwilowego.
�# �# �# �#
M/ � x2 M/ � x2
�# �#
c(x,t) = exp�#- �# c(x,t) = exp�#- �#
�# �#
2 Dt 4Dt Dt 4Dt
�# �# �# �#
Krzywa ta jest zwana:
krzyw Gaussa lub krzyw dzwonow.
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z tzw. zr�dBa chwilowego (z cienkiej warstwy) wa|ny aspekt praktyczny: wyznaczanie
wsp�Bczynnika dyfuzji na podstawie znajomo[ci zale|no[ci (np. z eksperymentu) st|enia od
odlegBo[ci od powierzchni w ukBadzie wsp�Brzdnych ln(c) x2 dla pewnej chwili czasu t
�# �#
M/ � x2
�#
c(x,t) = exp�#- �#
W ukBadzie ln(c) x2 zale|no[ jest liniowa
�#
4Dt
Dt
�# �#
�#M/ � �#
1
ln[c(x)]= ln�# - x2
�#
Dt 4Dt
�# �#
R�wnanie ma posta ln(c) = a + b�x2
gdzie b = -tg� jest wsp�Bczynnikiem nachylenia prostej
Po wyznaczeniu wsp�Bczynnika nachylenia prostej
u|ywajc np. metody regresji liniowej mo|na
obliczy wsp�Bczynnik dyfuzji:
1 1
D = - =
4 �" t �"b 4 �" t �" tg�
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z tzw. zr�dBa staBego staBe st|enie substancji dyfundujcej na powierzchni (w praktyce
dotyczy to tylko dyfuzji z fazy gazowej do ciaBa staBego) do p�BnieskoDczonego ciaBa
0 0
Warunki pocztkowe i brzegowe:
cs = const st|enie na powierzchni c0 st|enie pocztkowe w materiale (dla t = 0)
c(x,t) zale|no[ st|enia dyfundujcej substancji od x w materiale w jakiej[ chwili t > 0
Rozwizanie drugiego r�wnania Ficka dla tego przypadku:
c(x,t) - cs x
�#
= erf�#
�# �#
c0 - cs
2 Dt
�# �#
funkcja
bBdu
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z tzw. zr�dBa staBego
1. Przypadek, gdy: c0 = 0 na pocztku st|enie dyfundujcej substancji w materiale jest
zerowe. Otrzymane rozwizanie redukuje si do postaci:
�# �#
x x
�# �#
c(x,t) = cs �" erf�#
�# �#
�#1- �# 2 Dt �#�# = cs �" erfc�#
2 Dt
�# �# �# �#
�# �#
odwrotna
funkcja bBdu
To r�wnanie zwane r�wnaniem absorpcji opisuje wnikanie dyfundujcej substancji z fazy
gazowej do materiaBu staBego.
2. Przypadek, gdy c0 > 0 i cs = 0 na pocztku w materiale staBym jest pewne r�wnomiernie
rozBo|one st|enie substancji dyfundujcej, natomiast w gazie st|enie tej substancji
utrzymywane jest na poziomie zero. W�wczas rozwizanie redukuje si do postaci:
x
�#
c(x,t) = c0 �" erf�#
�# �#
2 Dt
�# �#
To r�wnanie zwane r�wnaniem desorpcji opisuje proces dyfuzji z ciaBa p�lnieskoDczonego do
otaczajcej go fazy gazowej.
Funkcja bBdu erf i odwrotna funkcja bBdu erfc
x
2
2
erf(x) a" e-t dt erfc(x) a" 1- erf(x)
+"
0
�
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z tzw. zr�dBa staBego
c(x,t) - cs x
= erf�# �#
�# �#
c0 - cs
2 Dt
�# �#
1. Przypadek absorpcji wnikanie dyfundujcej 2. Przypadek desorpcji substancja wydostaje
substancji z fazy gazowej do wntrza si z materiaBu staBego do otaczajcej fazy
materiaBu staBego: gazowej:
c0 = 0 oraz cs `" 0 = const c0 `" 0 oraz cs = 0 =const
x
x �#
�#
c(x,t) = c0 �" erf�#
c(x,t) = cs �" erfc�# �# �#
�# �#
2 Dt
2 Dt
�# �#
�# �#
Charakterystyczny zasig dyfuzji
W dotychczasowych rozwizaniach II r�wnania Ficka:
dla zr�dBa chwilowego (krzywa Gaussa): dla zr�dBa staBego (krzywa bBdu):
c(x,t) - cs x
�# �#
M/ � x2
= erf�# �#
�#
c(x,t) = exp�#- �# �# �#
�#
c0 - cs
Dt 4Dt 2 Dt
�# �#
�# �#
warto[ zmiennej poBo|enia x jest dzielona przez t sam wielko[: o wymiarze dBugo[ci,
2 Dt
(wystpuje to tak|e w innych rozwizaniach r�wnania Ficka)
kt�ra mo|e w zwizku z tym sBu|y jako miara zasigu dyfuzji.
Wielko[ lub tylko samo nazywane jest
2 Dt Dt
charakterystycznym zasigiem (dBugo[ci) dyfuzji.
Charakterystyczny zasig dyfuzji (gdy D = const) jest proporcjonalny do pierwiastka z czasu:
Zasig dyfuzji ~
t
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Tzw. para dyfuzyjna dwa takie same p�BnieskoDczone ciaBa staBe o r�|nej (w praktyce niedu|ej)
zawarto[ci substancji A poBczone ze sob.
c0 pocztkowe st|enie A w jednym materiale, w drugim pocztkowo wynosi zero
Rozwizanie r�wnania dyfuzji:
c0 x
�#
c(x,t) = erfc�#
�# �#
2
2 Dt
�# �#
Wykres rozwizania
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja z grubej warstwy do ciaBa p�lnieskoDczonego warstwa o pewnej niezerowej grubo[ci
jakiego[ materiaBu, w kt�rym rozpuszczona jest substancja A (w praktyce o niskim st|eniu)
naniesiona jest na p�lnieskoDczony taki sam materiaB, w kt�rym nie ma substancji A
c0 pocztkowe st|enie A w naniesionej warstwie,
h - grubo[ naniesionej warstwy
Rozwizanie r�wnania dyfuzji:
c0 �# x + h x - h �#
�# �# �#
c(x,t) =
�# �#�#
�#erf�# 2 Dt �# + erf�#
2
2 Dt
�# �# �# �#
�# �#
Wykres rozwizania
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Dyfuzja ze zr�dBa staBego do ciaBa skoDczonego
Substancja A dyfunduje z fazy gazowej o staBym st|eniu cs do materiaBu, gdzie jej st|enie pocztkowe byBo 0.
c0 = 0 oraz cs `" 0 = const
Rozwizania II r�wnania Ficka:
"
�# �#
�# �#
4
c(x,t) = cs 1-
�# �# �#�#
"2n1 exp�# (2n + 1)2 �2 Dt�# �" sin�# � x�#
�# �#
� +1 h
h2 �# �#�#
�#
n=0 �# �#
�# �#
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Desorpcja z ciaBa skoDczonego do fazy gazowej
Substancja A desorbuje z materiaBu o pocztkowej koncentracji c0 do fazy gazowej o staBej koncentracji zero.
c0 `" 0 oraz cs = 0 =const
Rozwizania II r�wnania Ficka:
"
�# �#
4
c(x,t) = c0 �"
�# �#
"2n1 exp�# (2n + 1)2 �2 Dt�# �" sin�# � x�#
�# �#
� +1 h
h2 �# �#
n=0 �# �#
Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const)
Proces homogenizacji w ciele nieskoDczonym, gdy pocztkowa niejednorodno[ rozkBadu
st|enia jest opisana funkcj cosinus.
Funkcja opisujca pocztkowy rozkBad niejednorodnego st|enia substancji A w materiale:
�x
gdzie: c0 [rednia warto[ st|enia
c(x,t = 0) = c0 + cm cos( )
cm amplituda zmian st|enia
L
L - odlegBo[, na kt�rej st|enie zmienia
si od warto[ci minimalnej do maksimum
St|enie substancji A zmienia si w materiale, d|c do ujednorodnienia wg. zale|no[ci:
�x t
L2
c(x,t) = c0 + cm cos( )�" exp(- )
gdzie: jest czasem relaksacji
� =
L �
�2D procesu homogenizacji
Wykres zmian rozkBadu
st|enia z czasem
w procesie homogenizacji
Zadanie 1
W temperaturze 1000oC cienka pBytka stalowa o grubo[ci h = 0,5 mm jest:
" z jednej strony w kontakcie z atmosfer nawglajc, kt�ra na powierzchni pr�bki daje staB
koncentracj wgla w czasie r�wn c1=1,4 % wagowego,
" z drugiej strony w kontakcie z atmosfer odwglajc, kt�ra na powierzchni pr�bki daje staB
koncentracj wgla w czasie r�wn c2=0,15% wagowego.
Pomiary wsp�Bczynnika dyfuzji wgla w austenicie wykazaBy, |e jest on zale|ny od st|enia
wgla i przy jego st|eniu r�wnym: 0,15 % wynosi D1=2,5�10-7 cm2/s,
a przy st|eniu r�wnym: 1,4 % wynosi D2=7,7�10-7 cm2/s.
W przybli|eniu zale|no[ wsp�Bczynnika dyfuzji wgla zale|y od st|enia w spos�b liniowy.
1. Wykre[l w spos�b jako[ciowy przebieg st|enia wgla w poprzek pBytki.
2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali
wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla.
"c
J =
Ad. 1. I r�wnanie Ficka: -D
"x
Poniewa| J = const (gdy| stan stacjonarny), to:
"c "c
Jako[ciowy wykres zale|no[ci
D1 = D2
st|enia w poprzek pBytki
"x "x
x=0 x=h
D1 "c / "x x=h 7,7 �" 10-7
= = H" 3,1
D2 "c / "x
2,5 �" 10-7
x=0
Gradient st|enia na powierzchni o mniejszym st|eniu jest ok. 3,1
razy wikszy od gradientu na powierzchni o wikszym st|eniu.
Zadanie 1
2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali
wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla.
Ad2. Poniewa| wsp�Bczynnik dyfuzji zale|y w spos�b
liniowy od st|enia, to:
D = a + b�c, gdzie a i b mo|na obliczy z ukBadu r�wnaD:
D1 = a + b�c1 oraz D2 = a + b�c2
D1 - D2
D2c1 - D1c2
b =
a =
C1 - C2
c1 - c2
"c "c
I r�wnanie Ficka
J = -D = -(a + b �" c)
"x "x
�!
J�" dx = -(a + b �" c)�" dc Po wymno|eniu obu stron przez dx
�!
CaBkowanie obu stron r�wnania
+"J�" dx = -+"(a + b �" c) �" dc
�!
b �" c2
Wynik caBkowania
- J�" x = a �" c + + d
2
Gdzie d staBa caBkowania, kt�r nale|y wyznaczy z warunk�w brzegowych
Zadanie 1
2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali
wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla.
D2c1 - D1c2 D1 - D2
a = b =
Ad2. cd. D = a + b�c, gdzie:
c1 - c2 C1 - C2
Wykazano poprzednio, |e:
Warto[ J mo|na wyznaczy z tego samego
b �" c2
r�wnania dla x = h
- J�" x = a �" c + + d
i wykorzystujc otrzyman zale|no[ na d:
2
2
Warto[ d mo|na wyznaczy
b �" c2 b �" c1
2
- J�"h = a �" c2 + - a �" c1 -
z powy|szego r�wnania dla x = 0
2 2
2
b �" c1
- J�" 0 = a �"c1 + + d
�!
2
b
�! 2
a(C1 - C2)+ (C1 - C2)
2
b
2 2
J =
d = -(a �" c1 + �" c1 )
h
2
Po wstawieniu za a i b wyliczonych poprzednio warto[ci oraz dokonujc przeksztaBceD
otrzymuje si warto[ strumienia J:
D1 + D2 C1 - C2
J = �"
2 h
Zadanie 1
2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali
wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla.
Ad2. cd. Wykazano, |e strumieD wgla dyfundujcy przez pBytk wynosi:
D1 + D2 C1 - C2
J = �"
2 h
Do tego wzoru nale|y wprowadzi warto[ci podane w zadaniu, ale najpierw nale|y procenty
wagowe st|enia wgla zamieni na gsto[ wgla wyra|on w kg/m3, korzystajc z podanej
informacji, |e przy 0,8 % wagowego wgla w stali jego gsto[ wynosi 60 kg/m3.
c1 [%wag] 1,4 [%wag]
c1 [kg / m3] = �" 60 [kg / m3] = �" 60 [kg / m3] = 105 [kg / m3]
0,8 [%wag] 0,8 [%wag]
c2 [%wag] 0,15 [%wag]
c2 [kg / m3] = �" 60 [kg / m3] = �" 60 [kg / m3] = 11,2 [kg / m3]
0,8 [%wag] 0,8 [%wag]
7,7 �"10-11 + 2,5 �"10-11 [m2 / s] 105 -11,2 [kg / m3]
J = �" H" 9,6 �"10-6 [kg / m2 / s]
2 0,0005 [m]
J H" 9,6 [mg / m2 / s]
Zadanie 2
Stal niskowglowa o zawarto[ci 0,1% wgla jest nawglana w temperaturze 900oC w atmosferze
pozwalajcej na wytworzenie na powierzchni pr�bki staBego st|enia wgla o warto[ci 1%
(tzw. potencjaB wglowy atmosfery).
1. Okre[l gBboko[ nawglonej warstwy po 30 min zakBadajc, |e zawarto[ wgla w tej
warstwie stali musi zawiera przynajmniej 0,4 %. Przyjmij, |e wsp�Bczynnik dyfuzji wgla w stali
austenitycznej w temperaturze 900oC wynosi ok. 1,7�10-7 cm2/s.
2. Wykre[l profil st|enia wgla w pr�bce po procesie nawglania w tych warunkach.
Ad. 1:
x0,4 odlegBo[ od powierzchni,
gdzie st|enie wgla wynosi 0,4 % wag.
Rozwizanie II r�wnania Ficka dla zr�dBa staBego:
c(x,t) - cs x
= erf�# �#
�# �#
c0 - cs 2 Dt
�# �#
Po wstawieniu warto[ci danych z zadania:
�# �#
x0,4
0,4 -1
�#
= erf�#
�# �#
0,1-1
2 1,7 �"10-7 �"1800 Rysunek roboczy do zadania
�# �#
Zadanie 2
Stal wglowa o zawarto[ci 0,1% wgla jest nawglana w temperaturze 900oC w atmosferze
pozwalajcej na wytworzenie na powierzchni pr�bki staBego st|enia wgla o warto[ci 1% (tzw.
potencjaB wglowy atmosfery).
1. Okre[l gBboko[ nawglonej warstwy po 30 min zakBadajc, |e zawarto[ wgla w tej
warstwie stali musi zawiera przynajmniej 0,4 %. Przyjmij, |e wsp�Bczynnik dyfuzji wgla w stali
austenitycznej wynosi ok. 1,7�10-7 cm2/s.
Tablica warto[ci funkcji bBdu
Ad. 1, cd.:
�# �#
x0,4
0,4 -1
�#
H" 0,667 = erf�#
�# �#
0,1-1
2 1,7 �"10-7 �"1800
�# �#
Z tablicy warto[ci funkcji bBdu wynika, |e:
0,67 H" erf(0,69)
x0,4
Zatem:
H" 0,69
2 1,7 �" 10-7 �" 1800
GBboko[ warstwy nawglonej wynosi:
x0,4 H" 0,024 cm = 0,24 mm = 240 �m
Zadanie 3
Stal wglowa zawierajca 0,12 % wag. wgla jest nawglana w temperaturze 930oC:
1. Okre[l potencjaB wglowy atmosfery nawglajcej, jaki jest potrzebny do tego, aby po 30 godz.
nawglania w odlegBo[ci 1,5 mm od powierzchni st|enie wgla wynosiBo co najmniej 0,45%.
Przyjmij, |e wsp�Bczynnik dyfuzji wgla w stali austenitycznej w tej temperaturze nie zale|y od
st|enia wgla i wynosi ok. 2�10-7cm2/s.
Tablica warto[ci funkcji bBdu
Ad 1:
c(x,t) - cs x
= erf�# �#
�# �#
c0 - cs 2 Dt
�# �#
�#
0,45 - cs �# 0,15
�#
= erf�#
0,12 - cs �# 2 2 �"10-7 �"108000 �#
�# �#
0,45 - cs
= erf(0,510) H" 0,53
0,12 - cs
cs H" 1,22 % wag.
PotencjaB wglowy atmosfery powinien wynosi
co najmniej 1,22 % wag.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM 5 dyfuzja wykladIM wykład 5 przemiany w HSS podczas obróbki cieplnej vAIM wykład 6 warstwy powierzchnioweIM wykład 1Chemia, TCh, OSr, IM wyklad AM cz1Wyklad 8 dyfuzja do 5Wykład IV Historyzm i dyfuzjonizmSieci komputerowe wyklady dr FurtakWykład 05 Opadanie i fluidyzacjawięcej podobnych podstron