plik


Rozwizania rwnaD Ficka jednokierunkowych  czyli tylko jedna zmienna poBo|enia x I rwnanie: "c(x) J(x) = - D "x II rwnanie: Gdy D nie zale|y od koncentracji "c "2c = D "t "x2 W rzeczywisto[ci zaBo|enie, |e wspBczynnik dyfuzji nie zale|y od st|enia dyfundujcej substancji w jakim[ materiale jest na ogB prawdziwe tylko dla odpowiednio niskich st|eD. Jak niskich  zale|y to od dyfundujcej substancji i materiaBu. Dyfuzja w stanie stacjonarnym Stan stacjonarny  to stan ukBadu, w ktrym st|enie dyfundujcej substancji nie zmienia si z czasem, chocia| st|enie to nie jest jednorodne w objto[ci materiaBu. 1. W rzeczywistych ukBadach fizycznych, zwBaszcza skBadajcych si z materiaBw staBych, stan stacjonarny dyfuzji jest raczej rzadko spotykany. 2. Najcz[ciej dotyczy on sytuacji, gdy zachodzi dyfuzja jakiej[ substancji ze [rodowiska ciekBego lub gazowego do takiego samego [rodowiska poprzez przegrod wykonan z jakiego[ staBego materiaBu. 3. Je[li po obu stronach przegrody (najcz[ciej jest to cienka pBytka lub membrana) st|enia dyfundujcej substancji s r|ne ale staBe w czasie, to po pewnym czasie w poprzek membrany ustala si stacjonarny rozkBad st|enia, ktre zmienia si w sposb cigBy od wikszego st|enia na jednej powierzchni do mniejszego st|enia na drugiej. 4. Poniewa| w stanie stacjonarnym gradient st|enia dyfundujcej substancji jest staBy w czasie, to tak|e staBy w czasie jest strumieD dyfundujcej substancji. "c W stanie stacjonarnym: = 0 "t "2c Zatem, z drugiego rwnania Ficka wynika, |e: D = 0 "x2 Dyfuzja przez pBytk materiaBu w stanie stacjonarnym Przypadek, gdy wspBczynnik dyfuzji nie zale|y od koncentracji: D(c) = const "2c "2c Rozwizaniem jest rwnanie: c(x) = a + bx D = 0 ! = 0 Co mo|na sprawdzi przez podstawienie "x2 "x2 gdzie a i b s dowolnymi staBymi. Aby wyznaczy warto[ci a i b dla konkretnej sytuacji nale|y skorzysta z warunkw brzegowych, ktre w tym przypadku s nastpujce: cA(0) = c1 = const oraz cA(d) = c2 = const Wiksze Mniejsze st|enie A st|enie A d  grubo[ pBytki cA(0) = a = c1 Zatem: c2 - c1 cA(d) = a + bd = c1 + bd = c2 ! b = d c2 - c1 cA(x) = c1 + x St|enie substancji A w pBytce dane jest zatem wzorem: d StrumieD dyfundujcej substancji A mo|na obliczy z I rwnania Ficka: "cA(x) c2 - c1 c1 - c2 JA = -D = -D = D "x d d Dyfuzja w stanie stacjonarnym przez pBytk skBadajc si z dwch r|nych materiaBw Rysunek przedstawia pogldowo MateriaB 1 MateriaB 2 sytuacj, gdy D1 > D2 grubo[ d1 d2 wspBczynnik D1=const `" D2=const dyfuzji Warunki brzegowe: c(0)=c1 oraz c(d1+d2)=c2 Na granicy midzy obydwoma materiaBami staBe st|enie dyfundujcej substancji wynosi c12 i jest ono a priori nie znane. Jego warto[ nale|y obliczy. Otrzymane poprzednio rozwizania mo|na zastosowa do ka|dego z materiaBw osobno: c1 - c12 c12 - c2 c1 - c12 c12 - c2 Czyli: J1 = D1 J2 = D2 D1 = D2 d1 d2 d1 d2 Strumienie dyfundujcej substancji musz by A po przeksztaBceniach: rwne w obu materiaBach: D1d2c1 + D2d1c2 c12 = J1 = J2 D1d2 + D2d1 Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z tzw. zrdBa chwilowego (nieskoDczenie cienkiej warstwy) do dwch pBnieskoDczonych stykajcych si takich samych materiaBw, tzw. ukBad  kanapkowy (ang. sandwich) lub do jednego pBnieskoDczonego ciaBa, tzw. dyfuzja z cienkiej warstwy. Rozwizania: # # # # M/  x2 M/  x2 # # c(x,t) = exp#- # c(x,t) = exp#- # # # 4Dt 4Dt 2 Dt Dt # # # # gdzie: M  ilo[ substancji A przypadajcej na jednostk powierzchni, znajdujca si w chwili pocztkowej (czyli dla t = 0) na powierzchni materiaBu B lub midzy dwoma materiaBami B (czyli dla x = 0). Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z tzw. zrdBa chwilowego. # # # # M/  x2 M/  x2 # # c(x,t) = exp#- # c(x,t) = exp#- # # # 2 Dt 4Dt Dt 4Dt # # # # Krzywa ta jest zwana: krzyw Gaussa lub krzyw dzwonow. Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z tzw. zrdBa chwilowego (z cienkiej warstwy)  wa|ny aspekt praktyczny: wyznaczanie wspBczynnika dyfuzji na podstawie znajomo[ci zale|no[ci (np. z eksperymentu) st|enia od odlegBo[ci od powierzchni w ukBadzie wspBrzdnych ln(c)  x2 dla pewnej chwili czasu t # # M/  x2 # c(x,t) = exp#- # W ukBadzie ln(c)  x2 zale|no[ jest liniowa # 4Dt Dt # # #M/  # 1 ln[c(x)]= ln# - x2 # Dt 4Dt # # Rwnanie ma posta ln(c) = a + bx2 gdzie b = -tg jest wspBczynnikiem nachylenia prostej Po wyznaczeniu wspBczynnika nachylenia prostej u|ywajc np. metody regresji liniowej mo|na obliczy wspBczynnik dyfuzji: 1 1 D = - = 4 " t "b 4 " t " tg Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z tzw. zrdBa staBego  staBe st|enie substancji dyfundujcej na powierzchni (w praktyce dotyczy to tylko dyfuzji z fazy gazowej do ciaBa staBego) do pBnieskoDczonego ciaBa 0 0 Warunki pocztkowe i brzegowe: cs = const  st|enie na powierzchni c0  st|enie pocztkowe w materiale (dla t = 0) c(x,t)  zale|no[ st|enia dyfundujcej substancji od x w materiale w jakiej[ chwili t > 0 Rozwizanie drugiego rwnania Ficka dla tego przypadku: c(x,t) - cs x # = erf# # # c0 - cs 2 Dt # # funkcja bBdu Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z tzw. zrdBa staBego 1. Przypadek, gdy: c0 = 0  na pocztku st|enie dyfundujcej substancji w materiale jest zerowe. Otrzymane rozwizanie redukuje si do postaci: # # x x # # c(x,t) = cs " erf# # # #1- # 2 Dt ## = cs " erfc# 2 Dt # # # # # # odwrotna funkcja bBdu To rwnanie  zwane rwnaniem absorpcji  opisuje wnikanie dyfundujcej substancji z fazy gazowej do materiaBu staBego. 2. Przypadek, gdy c0 > 0 i cs = 0  na pocztku w materiale staBym jest pewne rwnomiernie rozBo|one st|enie substancji dyfundujcej, natomiast w gazie st|enie tej substancji utrzymywane jest na poziomie zero. Wwczas rozwizanie redukuje si do postaci: x # c(x,t) = c0 " erf# # # 2 Dt # # To rwnanie  zwane rwnaniem desorpcji  opisuje proces dyfuzji z ciaBa plnieskoDczonego do otaczajcej go fazy gazowej. Funkcja bBdu erf i odwrotna funkcja bBdu erfc x 2 2 erf(x) a" e-t dt erfc(x) a" 1- erf(x) +" 0  Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z tzw. zrdBa staBego c(x,t) - cs x = erf# # # # c0 - cs 2 Dt # # 1. Przypadek absorpcji  wnikanie dyfundujcej 2. Przypadek desorpcji  substancja wydostaje substancji z fazy gazowej do wntrza si z materiaBu staBego do otaczajcej fazy materiaBu staBego: gazowej: c0 = 0 oraz cs `" 0 = const c0 `" 0 oraz cs = 0 =const x x # # c(x,t) = c0 " erf# c(x,t) = cs " erfc# # # # # 2 Dt 2 Dt # # # # Charakterystyczny zasig dyfuzji W dotychczasowych rozwizaniach II rwnania Ficka: dla zrdBa chwilowego (krzywa Gaussa): dla zrdBa staBego (krzywa bBdu): c(x,t) - cs x # # M/  x2 = erf# # # c(x,t) = exp#- # # # # c0 - cs Dt 4Dt 2 Dt # # # # warto[ zmiennej poBo|enia x jest dzielona przez t sam wielko[: o wymiarze dBugo[ci, 2 Dt (wystpuje to tak|e w innych rozwizaniach rwnania Ficka) ktra mo|e w zwizku z tym sBu|y jako miara zasigu dyfuzji. Wielko[ lub tylko samo nazywane jest 2 Dt Dt charakterystycznym zasigiem (dBugo[ci) dyfuzji. Charakterystyczny zasig dyfuzji (gdy D = const) jest proporcjonalny do pierwiastka z czasu: Zasig dyfuzji ~ t Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Tzw. para dyfuzyjna  dwa takie same pBnieskoDczone ciaBa staBe o r|nej (w praktyce niedu|ej) zawarto[ci substancji A poBczone ze sob. c0  pocztkowe st|enie A w jednym materiale, w drugim pocztkowo wynosi zero Rozwizanie rwnania dyfuzji: c0 x # c(x,t) = erfc# # # 2 2 Dt # # Wykres rozwizania Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja z grubej warstwy do ciaBa plnieskoDczonego  warstwa o pewnej niezerowej grubo[ci jakiego[ materiaBu, w ktrym rozpuszczona jest substancja A (w praktyce o niskim st|eniu) naniesiona jest na plnieskoDczony taki sam materiaB, w ktrym nie ma substancji A c0  pocztkowe st|enie A w naniesionej warstwie, h - grubo[ naniesionej warstwy Rozwizanie rwnania dyfuzji: c0 # x + h x - h # # # # c(x,t) = # ## #erf# 2 Dt # + erf# 2 2 Dt # # # # # # Wykres rozwizania Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Dyfuzja ze zrdBa staBego do ciaBa skoDczonego Substancja A dyfunduje z fazy gazowej o staBym st|eniu cs do materiaBu, gdzie jej st|enie pocztkowe byBo 0. c0 = 0 oraz cs `" 0 = const Rozwizania II rwnania Ficka: " # # # # 4 c(x,t) = cs 1- # # ## "2n1 exp# (2n + 1)2 2 Dt# " sin#  x# # #  +1 h h2 # ## # n=0 # # # # Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Desorpcja z ciaBa skoDczonego do fazy gazowej Substancja A desorbuje z materiaBu o pocztkowej koncentracji c0 do fazy gazowej o staBej koncentracji zero. c0 `" 0 oraz cs = 0 =const Rozwizania II rwnania Ficka: " # # 4 c(x,t) = c0 " # # "2n1 exp# (2n + 1)2 2 Dt# " sin#  x# # #  +1 h h2 # # n=0 # # Dyfuzja w stanach niestacjonarnych (D = const) Proces homogenizacji  w ciele nieskoDczonym, gdy pocztkowa niejednorodno[ rozkBadu st|enia jest opisana funkcj cosinus. Funkcja opisujca pocztkowy rozkBad niejednorodnego st|enia substancji A w materiale: x gdzie: c0  [rednia warto[ st|enia c(x,t = 0) = c0 + cm cos( ) cm  amplituda zmian st|enia L L - odlegBo[, na ktrej st|enie zmienia si od warto[ci minimalnej do maksimum St|enie substancji A zmienia si w materiale, d|c do ujednorodnienia wg. zale|no[ci: x t L2 c(x,t) = c0 + cm cos( )" exp(- ) gdzie: jest czasem relaksacji  = L  2D procesu homogenizacji Wykres zmian rozkBadu st|enia z czasem w procesie homogenizacji Zadanie 1 W temperaturze 1000oC cienka pBytka stalowa o grubo[ci h = 0,5 mm jest: " z jednej strony w kontakcie z atmosfer nawglajc, ktra na powierzchni prbki daje staB koncentracj wgla w czasie rwn c1=1,4 % wagowego, " z drugiej strony w kontakcie z atmosfer odwglajc, ktra na powierzchni prbki daje staB koncentracj wgla w czasie rwn c2=0,15% wagowego. Pomiary wspBczynnika dyfuzji wgla w austenicie wykazaBy, |e jest on zale|ny od st|enia wgla i przy jego st|eniu rwnym: 0,15 % wynosi D1=2,510-7 cm2/s, a przy st|eniu rwnym: 1,4 % wynosi D2=7,710-7 cm2/s. W przybli|eniu zale|no[ wspBczynnika dyfuzji wgla zale|y od st|enia w sposb liniowy. 1. Wykre[l w sposb jako[ciowy przebieg st|enia wgla w poprzek pBytki. 2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla. "c J = Ad. 1. I rwnanie Ficka: -D "x Poniewa| J = const (gdy| stan stacjonarny), to: "c "c Jako[ciowy wykres zale|no[ci D1 = D2 st|enia w poprzek pBytki "x "x x=0 x=h D1 "c / "x x=h 7,7 " 10-7 = = H" 3,1 D2 "c / "x 2,5 " 10-7 x=0 Gradient st|enia na powierzchni o mniejszym st|eniu jest ok. 3,1 razy wikszy od gradientu na powierzchni o wikszym st|eniu. Zadanie 1 2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla. Ad2. Poniewa| wspBczynnik dyfuzji zale|y w sposb liniowy od st|enia, to: D = a + bc, gdzie a i b mo|na obliczy z ukBadu rwnaD: D1 = a + bc1 oraz D2 = a + bc2 D1 - D2 D2c1 - D1c2 b = a = C1 - C2 c1 - c2 "c "c I rwnanie Ficka J = -D = -(a + b " c) "x "x ! J" dx = -(a + b " c)" dc Po wymno|eniu obu stron przez dx ! CaBkowanie obu stron rwnania +"J" dx = -+"(a + b " c) " dc ! b " c2 Wynik caBkowania - J" x = a " c + + d 2 Gdzie d  staBa caBkowania, ktr nale|y wyznaczy z warunkw brzegowych Zadanie 1 2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla. D2c1 - D1c2 D1 - D2 a = b = Ad2. cd. D = a + bc, gdzie: c1 - c2 C1 - C2 Wykazano poprzednio, |e: Warto[ J mo|na wyznaczy z tego samego b " c2 rwnania dla x = h - J" x = a " c + + d i wykorzystujc otrzyman zale|no[ na d: 2 2 Warto[ d mo|na wyznaczy b " c2 b " c1 2 - J"h = a " c2 + - a " c1 - z powy|szego rwnania dla x = 0 2 2 2 b " c1 - J" 0 = a "c1 + + d ! 2 b ! 2 a(C1 - C2)+ (C1 - C2) 2 b 2 2 J = d = -(a " c1 + " c1 ) h 2 Po wstawieniu za a i b wyliczonych poprzednio warto[ci oraz dokonujc przeksztaBceD otrzymuje si warto[ strumienia J: D1 + D2 C1 - C2 J = " 2 h Zadanie 1 2. Oblicz warto[ strumienia dyfuzji wgla przez pBytk wiedzc, |e przy zawarto[ci wgla w stali wynoszcej 0,8 % wagowych w 10000oC w 1 m3 jest 60 kg wgla. Ad2. cd. Wykazano, |e strumieD wgla dyfundujcy przez pBytk wynosi: D1 + D2 C1 - C2 J = " 2 h Do tego wzoru nale|y wprowadzi warto[ci podane w zadaniu, ale najpierw nale|y procenty wagowe st|enia wgla zamieni na gsto[ wgla wyra|on w kg/m3, korzystajc z podanej informacji, |e przy 0,8 % wagowego wgla w stali jego gsto[ wynosi 60 kg/m3. c1 [%wag] 1,4 [%wag] c1 [kg / m3] = " 60 [kg / m3] = " 60 [kg / m3] = 105 [kg / m3] 0,8 [%wag] 0,8 [%wag] c2 [%wag] 0,15 [%wag] c2 [kg / m3] = " 60 [kg / m3] = " 60 [kg / m3] = 11,2 [kg / m3] 0,8 [%wag] 0,8 [%wag] 7,7 "10-11 + 2,5 "10-11 [m2 / s] 105 -11,2 [kg / m3] J = " H" 9,6 "10-6 [kg / m2 / s] 2 0,0005 [m] J H" 9,6 [mg / m2 / s] Zadanie 2 Stal niskowglowa o zawarto[ci 0,1% wgla jest nawglana w temperaturze 900oC w atmosferze pozwalajcej na wytworzenie na powierzchni prbki staBego st|enia wgla o warto[ci 1% (tzw. potencjaB wglowy atmosfery). 1. Okre[l gBboko[ nawglonej warstwy po 30 min zakBadajc, |e zawarto[ wgla w tej warstwie stali musi zawiera przynajmniej 0,4 %. Przyjmij, |e wspBczynnik dyfuzji wgla w stali austenitycznej w temperaturze 900oC wynosi ok. 1,710-7 cm2/s. 2. Wykre[l profil st|enia wgla w prbce po procesie nawglania w tych warunkach. Ad. 1: x0,4  odlegBo[ od powierzchni, gdzie st|enie wgla wynosi 0,4 % wag. Rozwizanie II rwnania Ficka dla zrdBa staBego: c(x,t) - cs x = erf# # # # c0 - cs 2 Dt # # Po wstawieniu warto[ci danych z zadania: # # x0,4 0,4 -1 # = erf# # # 0,1-1 2 1,7 "10-7 "1800 Rysunek roboczy do zadania # # Zadanie 2 Stal wglowa o zawarto[ci 0,1% wgla jest nawglana w temperaturze 900oC w atmosferze pozwalajcej na wytworzenie na powierzchni prbki staBego st|enia wgla o warto[ci 1% (tzw. potencjaB wglowy atmosfery). 1. Okre[l gBboko[ nawglonej warstwy po 30 min zakBadajc, |e zawarto[ wgla w tej warstwie stali musi zawiera przynajmniej 0,4 %. Przyjmij, |e wspBczynnik dyfuzji wgla w stali austenitycznej wynosi ok. 1,710-7 cm2/s. Tablica warto[ci funkcji bBdu Ad. 1, cd.: # # x0,4 0,4 -1 # H" 0,667 = erf# # # 0,1-1 2 1,7 "10-7 "1800 # # Z tablicy warto[ci funkcji bBdu wynika, |e: 0,67 H" erf(0,69) x0,4 Zatem: H" 0,69 2 1,7 " 10-7 " 1800 GBboko[ warstwy nawglonej wynosi: x0,4 H" 0,024 cm = 0,24 mm = 240 m Zadanie 3 Stal wglowa zawierajca 0,12 % wag. wgla jest nawglana w temperaturze 930oC: 1. Okre[l potencjaB wglowy atmosfery nawglajcej, jaki jest potrzebny do tego, aby po 30 godz. nawglania w odlegBo[ci 1,5 mm od powierzchni st|enie wgla wynosiBo co najmniej 0,45%. Przyjmij, |e wspBczynnik dyfuzji wgla w stali austenitycznej w tej temperaturze nie zale|y od st|enia wgla i wynosi ok. 210-7cm2/s. Tablica warto[ci funkcji bBdu Ad 1: c(x,t) - cs x = erf# # # # c0 - cs 2 Dt # # # 0,45 - cs # 0,15 # = erf# 0,12 - cs # 2 2 "10-7 "108000 # # # 0,45 - cs = erf(0,510) H" 0,53 0,12 - cs cs H" 1,22 % wag. PotencjaB wglowy atmosfery powinien wynosi co najmniej 1,22 % wag.

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM 5 dyfuzja wyklad
IM wykład 5 przemiany w HSS podczas obróbki cieplnej vA
IM wykład 6 warstwy powierzchniowe
IM wykład 1
Chemia, TCh, OSr, IM wyklad AM cz1
Wyklad 8 dyfuzja do 5
Wykład IV Historyzm i dyfuzjonizm
Sieci komputerowe wyklady dr Furtak
Wykład 05 Opadanie i fluidyzacja

więcej podobnych podstron