1250463457

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 15

• Korzystamy z warunków początkowych, o ile są dane w treści zadania Metoda uzmienniania stałych

Jeżeli para (yi (rc), 2/2 (^)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego, to funkcja y(x) = Ci(x)yi(x) + C₂{x)y₂(x) , gdzie (Ci(x),C₂(x)) jest dowolnym rozwiązaniem układu równań

	M^x)	c;(x)		0
	y'2(x)	C'2(x)

jest rozwiązaniem równania niejednorodnego.

Układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest różny od zera.

Należy zatem wyznaczyć rozwiązanie (yi(x),y₂(x)) układu

| C[{x)yi(x) + C'₂(x)y₂(x) = 0 1 CiO&Wi (?) + C₂{x)y'₂(x) = q(x)

Układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest różny od zera.

Metoda przewidywań

Możemy stosować tę metodę, gdy jest odpowiednia postać funkcji q(x), tzn. gdy

•    q(x) = e^axP_n(x), to przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać

y_s(x) = x^pe^axQ_n(x) ,

gdzie P_n(x) jest wielomianem stopnia n, a Q_n{x) jest postacią ogólną tego wielomianu, a p jest krotnością pierwiastka a równania charakterystycznego;

•    q(x) = (P_n(x) cos bx+P_m(x) sin bx)e^ax, to przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać

y_s(x) — x^p(Ql_t(x) cos bx + Q2_t(x) sin bx)e^ax ,

gdzie P_n jest wielomianem stopnia n, P_m jest wielomianem stopnia m, a Ql_t, Q2_t są wielomianami stopnia t — max{n,m} w postaci ogólnej, natomiast p jest krotnością pierwiastka a + ib równania charakterystycznego.