8941510969

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

21

Wniosek 1.9 (Nierówność Bessela) Jeśli {ei, ..., e*,} jest układem ortonormalnym, to dla każdego wektora v ę. V zachodzi

3=1

Stwierdzenie 1.1 pokazuje, jak można sprowadzić obliczenie abstrakcyjnie określonych wielkości iloczynu skalarnego i normy do rachunków wykonywanych za pomocą współrzędnych względem bazy ortonormalnej. W szczególności widać stąd, że wyrażenia dla tych wielkości są dane takimi samymi formalnie wzorami, jakimi zadane są standardowy iloczyn skalarny i norma pitagorejska w przestrzeni kartezjańskiej. Nasuwające się w ten sposób przypuszczenie, że przestrzenie te są w jakimś sensie identyczne można sprecyzować przez wprowadzenie pojęcia „izometrii przestrzeni euklidesowych”, do którego omówienia przechodzimy.

1.4.5 Izometria przestrzeni euklidesowych.

Definicja 1.14 (Izometrie przestrzeni euklidesowych) Mówimy, że dwie abstrakcyjne przestrzenie euklidesowe (V, (• | •)) i (W, (• | •)) są izometryczne, jeśli istnieje liniowa bijekcja / : V —» W, taka że dla każdej pary wektorów ui, V2 € V zachodzi

{f{vi) | f(v2)) = (ui | v₂)    (1.71)

Ze Stwierdzenia 1.1 wynika od razu, że dowolna (abstrakcyjna) przestrzeń eukhdesowa wymiaru k jest izometryczna z przestrzenią R^fc wyposażoną w euklidesowy iloczyn skalarny określony wzorem (1.17).

Wniosek 1.10 Niech (V, (• | ■)) będzie przestrzenią euklidesową, a {e 1, e₂, ..., e*} bazą ortonormal-ną V. Odwzorowanie, przyporządkowujące każdemu wektorowi z V ciąg jego współrzędnych względem tej bazy dane wzorem

V9t)H f(v) = ((v | ci), (v | e₂), ..., (v | e*)) € R^fc,    (1.72)

jest izometrią przestrzeni (V, (• | •)) z przestrzenią kartezjańską R^k wyposażoną w pitagorejski iloczyn skalamy.

1.4.6 Charakteryzacja baz ortonormalnych

Z teoretycznego punktu widzenia jest bardzo ważne, że własności opisane we Stwierdzeniu 1.1 całkowicie charakteryzują bazy ortonormalne. W tym miejscu podamy sformułowanie odnoszące się jedynie do przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych, odkładając na później przypadek przestrzeni nieskończonego wymiaru.

Stwierdzenie 1.10 Niech {ei, ..., e_n} będzie zbiorem ortonormalnym w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej (V, (■ | •)). Wówczas każdy z następujących warunków jest równoważny stwierdzeniu, że {e\, ..., e_n} jest bazą przestrzeni V:

(a)    {ei, ..., e_n} jest zbiorem kompletnym w V;

(b)    Każdy wektor z V daje się wyrazić w postaci (1.67), tj. v = Y (^v I ^ej)^ej!

(c)    Dla każdego wektora v € V mamy ||i>||² = Y l(^u I ^ej)|²/

3=1

(d)    Dla każdej pary wektorów v, w 6 V mamy (v | w) = Y (^v I ^ej)(^ej I ^w)-