8941510968

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

20

(1.65)

W istocie łatwo sprawdzić, że dla k, n £ N zachodzą równości / sin(kt) cos(nt) dt=    sin(nt)dt = / cos(nt) dt = 0

Jo    Jo    Jo

oraz

r2ix    r2it

/    sin (kt) sin(nt) dt = / cos(fct) cos(nt) dt

Jo    Jo

fo, Mn,

17r, k = n,

dt — 27r,

(1.66)

a stąd już ortonormalność układu (1-64) jest widoczna.

1.4.4 Bazy ortonormalne w przestrzeniach euklidesowych.

Użyteczność baz ortonormalnych jest w dużym stopniu konsekwencją łatwości, z jaką wyznaczać można współrzędne wektora względem takiej bazy oraz obliczać normę i iloczyny skalarne.

Stwierdzenie 1.1 Niech {e\, e2, ..., e_k} będzie układem ortonormalnym w przestrzeni euklidesowej V i niech W = lin{ei, ..., e*,} będzie przestrzenią rozpiętą nad tym układem. Wówczas:

(i) każdy wektor v £ W wyraża się wzorem

(1.67)

(1.68)

(1.69)

w = 5Z(«u | ej)ej. j=1

(ii)    Dła każdej pary wektorów w\,w₂€W mamy

k

(wi | w₂) = 5Z(wi | ej)(ej 1102).

3=¹

(iii)    W szczególności dła każdego w £ W zachodzi „uogólniony wzór Pitgorasa”

Wzór (1.67) będziemy nazywali rozwinięciem wektora w bazie ortonormalnej.

W ogólności, dla dowolnego wektora v £ V i układu ortonormalnego {ei, e2, ..., e*,} wektor

k

X = V - (v I ej)ei - (v | e₂)e₂ - ... - (v \ e_k)e_k = v- ]T(v | ej)ej    (1.70)

i=l

należy do ortogonalnego dopełnienia przestrzeni W, x £ W^±. Rzeczywiście, obliczając kolejno iloczyny skalarne x z wektorami ei, e2, ... otrzymujemy wobec warunku (1.62) k

(1 I e„) = (v I e_p) - 53(t> I ej)(ej \ e_r) = (o | e_p) - (v | e_p) = 0, p=l

A zatem x £ W-¹, lub inaczej, składniki sumy po prawej stronie wzoru k

v = I ^ej)^ej + X

są parami ortogonalne. Z wzoru Pitagorasa wynika więc ważny wniosek.