8941510974

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

13

W analogiczny sposób z ciągów o wyrazach zespolonych można zbudować przestrzeń <S(C) z ciałem liczb zespolonych jako ciałem skalarów — szczegółowe prześledzenie tej konstrukcji pozostawimy zainteresowanym czytelnikom.

1.3.3 Podprzestrzenie wektorowe — nowe konstrukcje i nowe przykłady

Przypomnimy krótko kilka najważniejszych dla nas pojęć algebry liniowej i ich podstawowe własności. Zaczniemy od pojęcia podprzestrzeni.

Definicja 1.8 (Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej) Podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowej V nad K nazywamy taki podzbiór W C V, że dla każdej pary wektorów wi, W2 € W i każdej pary skalarów a, 0 € K kombinacja liniowa aw\ + 0W2 też jest elementem W (jak mówimy, W jest zamknięta względem brania kombinacji liniowych swoich wektorów z dowolnymi współczynnikami).

W konsekwencji tej definicji każdą podprzestrzeń wektorową możemy traktować jako samoistną przestrzeń wektorową, z działaniami przeniesionymi z zawierającej ją przestrzeni.

Z każdym układem {uj, ..., v_m} wektorów z przestrzeni V związana jest pewna podprzestrzeń wektorowa w V, zdefiniowana jako

lin{vi, ..., v_m} = {Y,tj^vj | tli • • •, *m € K}    (1.39)

j=l

i nazywana podprzestrzenią rozpiętą przez ten układ. Pozostawiając czytelnikowi sprawdzenie, że jest to rzeczywiście podprzestrzeń wektorowa w V, zauważymy, że z samej kostrukcji tej przestrzeni wynika, że jest ona zawarta w każdej podprzestrzeni wektorowej zawierającej układ {tą, ..., v_m}. Na tej podstawie powiada się, że lin{ią, ..., v_m} jest najmniejszą podprzestrzenią wektorową w V zawierającą ten zbiór wektorów. Interpretując szerzej tę konstrukcję możemy także rozważać przestrzeń skończonych kombinacji liniowych wektorów należących do danego zbioru E C V. Tę przestrzeń będziemy także oznaczać symbolem lin{£7} i nazywać przestrzenią rozpiętą (generowaną) przez ten zbiór.

Ważnym punktem budowy teorii jakiejś struktury algebraicznej jest wyjaśnienie, w jaki sposób wprowadzane w niej pojęcia o charakterze algebraicznym zachowują sie w odniesieniu do czysto mnogościowych operacji — części wspólnej i sumy zbiorów. W odniesieniu do pojęcia podprzestrzeni wektorowej sytuacja jest w pełni zadowalająca dla operacji brania części wspólnej, a dla sumy już nieco bardziej problematyczna.

Stwierdzenie 1.6 Niech U, W będą dwiema podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni wektorowej V.

(a)    Część wspólna U fi W jest podprzestrzenią wektorową w V;

(b)    Suma mnogościowa U U W jest podprzestrzenią wektorową w V wtedy i tylko wtedy, gdy U C W lub W C U.

(c)    Zbiór U + V = {x = u + w£V\u£U, w £ W) jest najmniejszą podprzestrzenią wektorową zawierającą każdą z podprzestrzeni U, W. Nazywa się ją sumą podprzestrzeni U i W.

Sformułowanie powyższe można uogólnić rozważając dowolne, niekoniecznie dwuelementowe, rodziny podprzestrzeni wektorowych ustalonej przestrzeni wektorowej V.

Stwierdzenie 1.7 Niech    będzie rodziną podprzestrzeni wektorowych przestrzeni wektorowej

V. Wówczas:

(a) fi Wj jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni wektorowej V;