8941510970

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

22

1.4.7    Przykład rozwinięć względem układu ortonormalnego — szeregi Fouriera.

Niezwykle ważnym przykładem zastosowania możliwości rozwinięcia wektora względem układu ortonormalnego danego wzorem (1.67) są rozwinięcia względem układu trygonometrycznego (1.64), nazywane na cześć ich odkrywcy rozwinięciami Fourierowskimi. Wprowadźmy oznaczenia

<j>o =    (t>_n{t) = cos nt, i>_n(t) = sinnf, n € N,    (1-73)

dla elementów (nieunormowanego) ortogonalnego układu trygonometrycznego(¹). W przestrzeni C([0, 27t]) z iloczynem skalarnym danym wzorem (1.63) współczynniki rozwinięcia funkcji / względem układu (1.73), nazywane jej współczynnikami Fouriera, dane są wzorami (por. wzór (1.60))

«. = -(/IW = - f "/(t)cosntJl,    n = 0,l,2_____ (1.74)

7T    TT Jo

K = -(/ I V>=) = — [ "/(t)Stani*,    n = 1, 2_____ (1.75)

7T    n Jo

Wyrażenie

^    ^ (a_n cos nt + b_n sin nt)    (1-76)

nazywane jest szeregiem Fouriera funkcji /. Badanie własności szeregów Fouriera, w szczególności ustalenie warunków ich zbieżności i wyznaczenie sumy szeregu stanowiło jeden z ważniejszych nurtów badań matematycznych w XIX i pierwszej połowie XX wieku.

Na podstawie Wniosku 1.9 otrzymujemy tzw. nierówność Bessela dla szeregów Fouriera: współczynniki Fouriera dowolnej funkcji ciągłej f € ć([0, 27r]) określone wzorami (1.74) spełniają nierówność

|f |² + Edlnl² + IM²) < ll/ll² = Jr l/MI² dt.

1.4.8    Ortogonalne dopełnienia i ich własności

Dla opisania zależności między zbiorem F C V i jego ortogonalnym dopełnieniem C V wykorzystamy dwa proste spostrzeżenia. Jeśli {/j, fi, ..., /*•} C V i v € F , to dla dowolnych liczb Ai, A2, ..., A i, zachodzi

k    k

(■IŻWi) = E¥'l/i)=<n

3=1    i=i

a stąd już łatwo wywnioskować, że zbiór F i przestrzeń liniowa rozpięta przez F, lin F, mają to samo ortogonalne dopełnienie,

F¹ = (lin F)¹.

Analogicznie, jeśli {vj, vi, ■ ■■, Vk} C F^x i / € F, to dla dowolnych liczb Ai, A2, •.., A* zachodzi

(EVil/) = E-'i(»f l/)=».

3=1    3=1

a więc F^x jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V. Obserwacje te prowadzą do następującego stwierdzenia.

1

Użycie w tym miejscu bazy ortogonalnej, a nie ortonormalnej jest podyktowane wyłącznie chęcią zachowania tradycyjnego zapisu dla współczynników rozwinięcia (1.76).