8941510978

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

17

Podobnie jak w przypadku „kropkowego” iloczynu skalarnego w R” można wykazać, wykorzystując miedzy innymi powyższą nierówność Schwarza, że funkcja v ■—* (v | u)¹/² ma wszystkie własności normy euklidesowej.

Stwierdzenie 1.8 Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K (K = R lub K = C) z iloczynem skalarnym oznaczanym (u | w). Funkcja

M = (» I v)^1/2 £ R    (1.52)

ma własności dodatniej określoności i bezwzględnej jednorodności, a także spełnia nierówność trójkąta (por. Twierdzenie 1.4 (c)).

Definicja 1.11 (Norma indukowana przez iloczyn skalarny) Jeśli w przestrzeni V wybrany jest iloczyn skalarny, to funkcję

V 3v>-> |M| = (v | u)^1/2 e R    (1.53)

nazywa się normą w przestrzeni V indukowaną przez iloczyn skalamy (v \ w).

1.4.1    Przykłady iloczynu skalarnego w przestrzeniach funkcyjnych.

(a) Jako iloczyn skalarny w przestrzeni Vⁿ[t] przyjmujemy zazwyczaj wyrażenie

Vⁿ[t) x Pⁿ[t] 3 (p, q) >-> (p | q) = J ^ p(t)q{t) dt,    (1.54)

choć wybór przedziału całkowania po prawej jest sprawą konwencji i może być dopasowywany do konkretnego zastosowania. Pozostawiamy czytelnikowi łatwe sprawdzenie, że tak określona funkcja ma wszystkie wymagane od iloczynu skalarnego własności.

(b)    Jako iloczyn skalarny w przestrzeni wielomianów trygonometrycznych przyjmujemy zazwyczaj wyrażenie

(Wi | W2) = / W\(t)W2(t)dt

Jo

choć i tu możliwe są inne wybory.

(c)    Ogólniej, w przestrzeni funkcji o wartościach rzeczywistych, określonych i ciągłych na odcinku [a, 6] C R, jako iloczyn skalarny przyjmuje się wyrażenie

(/ I 9) = j_a f(t)g(t) dt, f,g£ C([a, 6]).    (1.55)

Własności algebraiczne (liniowość i symetria) dla tak określonego wyrażenia wynikają wprost z odpowiednich własności funkcji ciągłych i całki Riemanna. Dla wykazania dodatniej określoności formy dwuliniowej zdefiniowanej tym wzorem na przestrzeni C{[a, ó]) potrzeba sprawdzić, że jeśli / 6 C([a, 6]), to    ^

J f²(t)dt > 0 •<=► ff£0 (tożsamościowo),    (1.56)

co jest również konsekwencją własności całki Riemanna, choć tym razem już nieco mniej trywialną.

1.4.2    Ortogonalność i ortogonalne dopełnienie w przestrzeniach euklidesowych.

Wprowadzoną dla przypadku przestrzeni kartezjańskiej R" terminologię będziemy stosować również w szerszym kontekście dowolnych przestrzeni euklidesowych, nie wyłączając przypadku przestrzeni nieskończenie wymiarowych. Przyjmujemy zatem następujące określenia.