8941510977

Konspekt wykładów „AFiW"

(wydruk 27 października 2009 roku)

16

(d) Przestrzeń zespolonych wielomianów trygonometrycznych stopnia < n. W tym przykładzie rozważamy funkcje o wartościach w ciele liczb C zespolonych i w konsekwencji dopuszczamy mnożenie przez skalary zespolone. Funkcje R B t ■—* w(t) € C postaci

w(t) = a.-_ne~^lnt + ... +    + ao + aie^4t + ... + a_ne^tnł = ake^ikt,

gdzie dla k = —n, ...,n współczynniki a* € C oraz |a_n| + |6„| ^ 0, nazywamy zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia n. Nietrudno się przekonać, że funkcje

e~^int,..., e~^lt, 1, e^lł, ..., e^mt    (1-49)

są liniowo niezależne nad ciałem C, a zatem rozpatrywana przez nas przestrzeń ma wymiar (zespolony) 2n +1.

1.4 Ogólne pojęcie iloczynu skalarnego i jego własności

Własności iloczynu skalarnego wymienione w Stwierdzeniu (1.4) przyjmuje się jako własności definiujące iloczyn skalarny w dowolnej przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych M(¹).

Definicja 1.10 (Iloczyn skalarny) Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem M, niekoniecznie skończenie wymiarową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy odwzorowanie

V x V 9 (u, w) >-> (u | w) e M

spełniające dla każdych v\, V2, v, w € V i a, 0 € R warunki:

i)    (v | w) = (w | v); (symetria)

ii)    (oui + (3v2 | w) = a(vi | w) + 0(v2 \ w); (liniowość wzg. pierwszego argumentu)

iii)    (v | v) > 0; ponadto (v \ v) = 0 -<=>■ v = 0; (dodatnia określoność).

(1.50)

Przestrzeń wektorową V nad ciałem M z wyróżnionym iloczynem skalarnym nazywamy (abstrakcyjną) przestrzenią euklidesową, lub rzeczywistą przestrzenią prehilbertowską. Dla podkreślenia, że rozważamy przestrzeń V z wybranym (i ustalonym) iloczynem skalarnym oznaczanym przez (w \ v) będziemy pisać

(V, (■ | ■))■

Zauważmy, że z liniowości względem pierwszego czynnika i symetrii wynika, że iloczyn skalarny jest liniowy również jako funkcja drugiego argumentu. Rzeczywiście, mamy

(w I avi + 0v2) — (aui + 0V2 \ w) — a(vi \ w) + /3(v2 \ w) =

— a(w | tą) + 0(w | U2)

Wniosek 1.8 Dla dowolnych wektorów v, w G V jest spełniona „nierówność Schwarza”

|(s I w)\ < (« |    I w)V\    (1.51)

przy czym obie strony w (1.51) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v i w są wspólliniowe.

1

Wlasności iloczynu skalarnego dla przestrzeni wektorowych z ciałem liczb zespolonych C jako ciałem skalarów są nieco inne i w tym miejscu nie będziemy ich omawiać.