8941510973

Konspekt wykładów „AFiW"

(wydruk 27 października 2009 roku)

12

że —v = (—l)u. Prawa łączności i rozdzielności mnożenia gwarantują zgodność działań wykonywanych na wektorach z tymi wykonywanymi na skalarach — w szczególności pokazują one, że dla każdego wektora v ^ 0 zbiór K ■ v można utożsamić (z zachowaniem obu działań) z osią liczbową K za pomocą odwzorowania A i-> Xv.

Dodajmy jeszcze jedną uwagę o możliwości zawężenia ciała skalarów od ciała liczb zespolonych do ciała liczb rzeczywistych. Załóżmy, że dana jest przestrzeń wektorowa V nad ciałem liczb zespolonych. Korzystając z tego, że liczby rzeczywiste tworzą podciało R ciała liczb zespolonych C, można łatwo przekonać się, że ograniczenie mnożenia (1.36) do odwzorowania R x V B (t, v) —> tv € V spełnia wszystkie warunki wymagane od mnożenia wektorów przez skalary. W ten sposób z dowolnej przestrzeni wektorowej V nad ciałem C otrzymuje się przestrzeń wektorową nad ciałem R, oznaczaną symbolem Vr, z tym samym zbiorem wektorów V, tym samym dodawaniem wektorów i mnożeniem przez skalary otrzymanym przez ograniczenie mnożenia wektorów tylko do liczb (skalarów) rzeczywistych^). Przeprowadźmy dla ilustracji tę konstrukcję dla najprostszej przestrzeni zespolonej V = C. Ponieważ dowolną liczbę zespoloną a = a + bi można zapisać jako a + bi = a-l-\-b-i, to spostrzegamy od razu, że rzeczywistą przestrzeń Cr można utożsamić z przestrzenią R². Analogicznie, dla V = Cⁿ otrzymamy (z dokładnością do izomorfizmu) (C")r = R²".

1.3.2 Przestrzeń wektorowa funkcji na zbiorze X i wartościach w K

Większość, jeśli nie wręcz wszystkie, przykładów przestrzeni wektorowych omawianych w tych wykładach daje się wyprowadzić z następującej ogólnej konstrukcji przestrzeni wektorowej jako przestrzeni funkcji. Symbolem T(X, K) będziemy oznaczać zbiór funkcji określonych na niepustym zbiorze X i przyjmujących wartości w wybranym ciele liczbowym K (na ogół będzie to jedno z ciał R lub C). W zbiorze 3~(X, K) rozważamy tak zwane działania punktowe — suma dwóch funkcji określonych na zbiorze X i iloczyn takiej funkcji przez liczbę o € K są określone „punkt po punkcie” zgodnie z następującą definicją.

Definicja 1.7 (Przestrzeń wektorowa funkcji) Dla dowolnych /, g £ ŹF(X, K) oraz a £ K suma f + g i iloczyn af są określone wzorami

(1.37)

(/ + 9)(x) = f(x) + g(x), (^af)(x) = af(x),

Przy tych określeniach mamy /, <7 £ F(X, K), a £ K => f + g £ iF(X, K), af € T(X, K), a ponadto te działania mają wszystkie własności wymagane w definicji przestrzeni wektorowej. A zatem T(X, K) z działaniami określonymi wzorem (1.37) jest przestrzenią wektorową nad ciałem K.

Przypomnijmy, że funkcje, których dziedziną jest zbiór N liczb naturalnych noszą nazwę ciągów, a bardziej szczegółowo mówimy o ciągach o wyrazach ze zbioru X dla określenia funkcji postaci f : N —* X. Do ciągów stosujemy tradycyjną notację oznaczając przez /„ wartość ciągu / : N —* X w punkcie n £ N, a sam ciąg zapisujemy w postaci (/„) lub (/_n)£Li- Jako szczególny przypadek powyższej konstrukcji otrzymujemy więc przestrzeń wektorową <S(R) ciągów o wyrazach z ciała R wyposażoną w punktowe działania dodawania ciągów i mnożenia ich przez liczby zgodnie ze wzorami:

(x_n) + (y_n) = (x_n + y_n); a(a;„) = (ax_n), dla a £ R.    (1.38)

⁴Nieco żartobliwie mówi się czasami, że jest ona otrzymana z przestrzeni zespolonej przez „zapominanie” ojej zespolonej strukturze (mnożeniu przez liczbę urojoną i).