8941510967

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

11

Wykład II (20 X 2009) Abstrakcyjne przestrzenie wektorowe

1.3 Przestrzenie wektorowe i ich podprzestrzenie

1.3.1 Definicja abstrakcyjnej przestrzeni wektorowej

Przypomniane wyżej przestrzenie kartezjańskie są przykładem ogólnego pojęcia przestrzeni wektorowej. Choć są to przykłady ważne, a nawet typowe w przypadku skończenie wymiarowym, to ograniczanie się do badania tylko tych przestrzeni byłoby nieproduktywne i pozbawiałoby nasze rozważania ogólności potrzebnej również w wielu sytuacjach napotykanych w zastosowaniach. Dla wygody czytelnika przedstawimy krótko tę ogólną koncepcję przestrzeni wektorowej, odsyłając po szersze wyjaśnienia i dodatkowe szczegóły do cytowanej literatury, np. podręczników Gelfanda [?], Smirnowa [?] i Sołtysiaka

[?]•

Definicja 1.6 (Przestrzeń wektorowa nad ciałem DC) Niech K będzie ciałem, a V niepustym zbiorem. Będziemy mówili, że V jest przestrzenią wektorową z ciałem skalarów K (krócej: nad ciałem K), jeśli określone są dwa odwzorowania

V x V 3 (v, w)    —> v + w£V,

K x V 3 (A, v)    —» AveV,

dodawanie wektorów;

(1.35)

mnożenie wektora przez skalar. (1.36)

które dla dowolnych elementów u, v, w € V i A, p € K spełniają następujące warunki:

Własności dodawania wektorów

Łączność

u + (v + w) = (u + v) + w. Przemienność

Własności mnożenia przez skalary Łączność

A • (p, ■ u) = (A ■ p) ■ v. Unitarność mnożenia przez skalary

V + W — W + V.

Dla każdego v € V zachodzi 1 ■ v — v.

Istnienie elementu neutralnego

Dwa prawa rozdzielności mnożenia

(A + p) ■ v = A • v + p ■ v; A • (v + w) = A • v + A • w.

Istnieje 0 G V, że dla każdego v € V 0 + v = v.

Istnienie elementu przeciwnego

Dla każdego v G V istnieje v € V, że v + v' = 0.

Własności dodawania wektorów można wypowiedzieć krótko mówiąc, że zbiór V jest grupą przemienną względem dodawania. Element przeciwny do v oznacza sie zwykle —v i wykazuje bez trudności,