8941510971

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

23

Stwierdzenie 1.11 Niech (V, (• | •)) będzie skończenie wymiarową przestrzenią euklidesową i niech F C V. Ortogonalne dopełnienie F¹- do F jest podprzestrzenią liniową w V, taką że

F^xnlmF = {0} oraz dim F^x + dim lin F = dim V.    (1.77)

W szczególności, zbiór F jest kompletny wtedy i tylko wtedy, gdy F zawiera bazę przestrzeni V.

Dla dowodu tego stwierdzenia posłużymy się pojęciem macierzy Grama układu wektorów w dowolnej przestrzeni euklidesowej.

Definicja 1.15 (Macierz Grama układu wektorów) Macierzą Grama skończonego układu wektorów {/i, /2, fk} C V będziemy nazywać macierz kwadratową i symetryczną stopnia k, oznaczaną G(f\, /2, •.., fk) (w skrócie G), zdefiniowaną jako

G(A,h, ...,/*) = [(/< I /,)].

Zauważmy, że {ei, e2, ...} C V jest układem ortonormalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz Grama [(ej | ej)] jest macierzą jednostkową (być może nieskończoną). Bardziej ogólnie, zachodzi następujący:

Lemat 1.4 Układ wektorów {/i, fi, ■ ■ ■, fk} C V jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz Grama jest nieosobliwa, tj. det G(/i, /2, ..., fk) i=- 0.

Dowód. Dla dowodu rozważmy układ równań o niewiadomych xi, X2, - - -, Xk,

£*;«,■ I h) = o,

3=1

S>i(/jl/*) = <>,    (1.78)

£*j(/j I fh) = 0.

3=1

Jeśli macierz Grama G jest osobliwa, to ten układ ma rozwiązanie niezerowe, powiedzmy j/i, yi, ..., j/*,.

k

Przyjmując y = J2 Ujfj i korzystając z liniowości iloczynu skalarnego względem pierwszego czynnika wyprowadzamy z równań tego układu równości (y \ fi) = 0 dla i — 1, .... k. Mnożąc je kolejno przez 2/1, 2/2, • • •, Vk i dodając do siebie otrzymamy

k    k

o = £si(y I /i) = (v I ±y,f<) = (s I »)■

A zatem kombinacja wektorów fj o niezerowych współczynnikach jest wektorem zerowym, co dowodzi firnowej zależności wektorów f\, fo, ■ ■ ■, fk-

Z drugiej strony, jeśli macierz Grama G jest nieosobliwa, to powyższy układ ma jedynie rozwiązanie k

zerowe. Załóżmy, że kombinacja Y. ^jfj wektorów {/j, f^, ■ ■ ■, fk) jest wektorem zerowym. Ponieważ wówczas dla każdego i € {1, ..., k} zachodzi

3=1    3=1

więc układ liczb Ai, A2, ..., Xk jest rozwiązaniem układu równań (1.78), a zatem każda z tych liczb musi być równa zeru, co dowodzi liniowej niezależności układu {/1, /2, ..., fk}-    ¹⁼¹