8941510980

Konspekt wykładów „AFiW"

(wydruk 27 października 2009 roku)

a składowa wektora x w kierunku wektora f_p jest dana jako

Ap/p = (x | ep)e_p, gdzie e_p = rrjjJp WJpW

jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora f_p.

W szczególności wynika stąd, że układ parami ortogonalnych wektorów (po ewentualnym wykluczeniu z układu wektora zerowego) jest liniowo niezależny. Podsumujemy te wnioski w formie następującego lematu.

Lemat 1.3 W przestrzeni V z iloczynem skalarnym (v \ w) układ ortogonalny {/], ..., /*.} nie zawierający wektora zerowego jest bazą podprzestrzeni lin{/i, ..., /*}. Dla każdego wektora z tej przestrzeni zachodzi równość

HEWi!l² = EM²ll/jll²-

i-1    i⁼¹

Ponadto każdy wektor v € lin{/i, ..., fk) ma (jednoznaczne) przedstawienie w postaci

«=£(»i«ii/jir²/i-    (i-si)

j=i

Wprowadzimy teraz następującą definicję.

Definicja 1.13 (Układy ortogonalne i ortonormalne) Niech (V, (• | ■)) będzie przestrzenią eu-klidesową. Układ wektorów {/i, /2, ...} C V (skończony lub nieskończony) będziemy nazywać: układem ortogonalnym, jeśli dowolne dwa wektory tego układu odpowiadające różnym wskaźnikom są ortogonalne, tj. dla każdej pary i, j z i -fi j zachodzi (/, | fj) = 0;

układem ortonormalnym, jeśli jest on ortogonalny i norma każdego z wektorów układu jest równa 1.

Jeśli V jest przestrzenią skończenie wymiarową, to powiemy, że układ {/i, /2, ..., /*,} C V jest bazą ortonormalną przestrzeni V, jeśli jest układem ortonormalnym i V = lin{/i, /2, ..., fk}-

Przypominając, że symbolem (deltą) Kroneckera nazywamy funkcję Sij określoną zależnością Sij = 0 gdy i ^ j oraz Sij = 0 gdy i = j możemy powyższe wyrazić krótko:

{/i, /2> • • •} jest układem ortonormalnym •*=> (fi \ fj) = Sij,    i, j = 1,2,---- (1-62)

1.4.3 Ortogonalność funkcji trygonometrycznych.

Podany niżej układ funkcji jest jednym z najważniejszych w matematyce nieskończonych układów ortonormalnych, znajdującym wielorakie zastosowania zarówno w teorii jak i zagadnieniach praktycznych.

Stwierdzenie 1.9 W przestrzeni funkcji ciągłych C([0, 27t]) z iloczynem skalarnym danym wzorem

U\g)= r f(tMt)dt,    (1.63)

Jo

układ funkcji

11.1 1 . „ 1 1 . 1

.—,    —=sint, —=cos t. —=sin21, —=cos21, ..., —=sinnt,    —= cos nt,...    (1.64)

y/2n    \TK    V7T    y/TT    sjlt    pT    pT

jest układem    ortonormalnym. Układ ten będziemy nazywali (unormowanym)    układem trygonometrycznym.