8941510972

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

24

Możemy teraz wykazać Stwierdzenie 1.11. Niech {/i, /2, .... /„} będzie taką bazą przestrzeni V, że

jej pierwsze wektory {/i, /2, ..., /&} tworzą bazę w przestrzeni lin F. Wówczas x = £ ^xjfj G ■P'^L

j=i

wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są równości

0=(/iM = X>i(/il/i). dla a — 1, 2, .... fc.    (1.79)

J=1

A zatem liczby xi, X2, ..., x_n są rozwiązaniami układu równań (1.79), którego macierz [(/, | /j)] ma rząd równy k. Ponieważ przestrzeń rozwiązań tego układu ma wymiar dim V — k, a każdemu rozwiązaniu tego układu odpowiada wzajemnie jednoznacznie (z zachowaniem liniowości) wektor przestrzeni F^±, to w ten sposób wykazaliśmy równość dotyczącą wymiarów we wzorze (1.77). Z drugiej strony, wektor należący jednocześnie do F i F^x jest prostopadły do siebie samego, a taki jest tylko wektor zerowy.    □

Wykazaliśmy powyżej, że w skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej każda baza jest zbiorem kompletnym. W przypadku przestrzeni o nieskończonym wymiarze będziemy często posługiwali się następującym warunkiem dostatecznym kompletności zbioru.

Stwierdzenie 1.12 Jeśli F C V jest takim podzbiorem w przestrzeni euklidesowej (V, (• | •)), że każdy wektor z V jest skończoną kombinacją liniową wektorów z F, to F jest zbiorem kompletnym.

Dowód. Rzeczywiście, na mocy założenia dowolny v 6 F¹- można zapisać w postaci v = J2 Ajfj,

j=i

gdzie fj £ F dla j = 1,    , k — bez ograniczenia ogólności można przyjąć też, że wektory fj są

liniowo niezależne. Mamy zatem

k

o = (» I fi) = 51 A,-(/jl/i),    dla i=l.....k,

j=1

co wobec wynikającej z Lematu 1.4 nieosobliwości macierzy Grama układu {/i, fi, • • •, fk) pociąga za sobą znikanie wszystkich współczynników Aj.    □

Wniosek 1.11 (a) W przestrzeni wielomianów V[t] (bez ograniczenia na stopień) jednomiany {1, t, t², ..., tⁿ, ...} tworzą układ kompletny.

(b) W przestrzeni wielomianów trygonometrycznych T[0, 27r] (bez ograniczenia na stopień) funkcje {1, sin t, cos t, ..., sin nt, cos nf, ...} tworzą układ kompletny.