8941510975

Konspekt wykładów „AFiW"

(wydruk 27 października 2009 roku)

14

(b) Najmniejszą podprzestrzenią wektorową w V zawierającą sumę mnogościową U Wj jest przestrzeń

j€J

lin{ U Wj}. Nazywamy ją sumą wektorową rodziny podprzestrzeni {Wj}jtJ i oznaczamy

X/ Wj = lin{ U Wj}.

jeJ

1.3.4 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej

Bodaj najważniejszą definicją elementarnej algebry liniowej jest definicja bazy przestrzeni wektorowej. Podamy tu takie jej sformułowanie, które naszym zdaniem najjaśniej wydobywa związek tego pojęcia z teorią układów równań liniowych i dzięki temu wiedzie najkrótszą drogą do praktycznych zastosowań.

Definicja 1.9 (Baza przestrzeni wektorowej) Ciąg wektorów {uą, ..., w_n} nazywa się bazą uporządkowaną przestrzeni wektorowej V nad K (K = E lub C), jeśli każdy wektor v € V można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów w\, ..., w_n. Jeśli

v = ^2 VjWj    (1-40)

j=i

to liczby Vj, j = 1, ..., n (wyznaczone jednoznacznie) nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy (ttą, ..., u>„}.

Przypomnijmy także, że zbiór E C V nazywamy zbiorem wektorów liniowo niezależnych (krócej, choć nie całkiem poprawnie mówi się, że jest zbiorem liniowo niezależnym), jeśli dla każdego skończonego podzbioru {ej, ..., e*.} c E jest prawdziwa implikacja k

Y,X_je_i=0 =t-    A,=,\2... = Ai = 0.    (1.41)

2=1

Wniosek 1.7 Każda baza uporządkowana przestrzeni wektorowej V nad K jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych. Ponadto, jeśli {ttą, ..., w_n} jest bazą uporządkowaną wV, a {/i, ..., f_m} C V jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych, to m < n.

Uogólniając ten wniosek możemy powiedzieć, że baza jest maksymalnym zbiorem wektorów liniowo niezależnych w V. Konsekwentnie, wymiarem podprzestrzeni W C V nazywamy największą liczbę liniowo niezależnych wektorów należących do tej podprzestrzeni. Łatwo zauważyć, że określony w ten sposób wymiar podprzestrzeni jest równy jej wymiarowi, jeśli traktować ją jako samodzielną przestrzeń wektorową.

Przykłady 1.3.1 Bazy w przestrzeni kartezjańskiej.

(a) Ciąg wektorów {ej}, gdzie

ej = (1, 0, 0, 0, ... ,0),    e₂ = (0, 1, 0, 0, ... ,0),    e₃ =    (0, 0, 1, 0, ..., 0),    ...,    e„ = (0, 0, 0, ... , 1)

(1.42)

jest bazą w Rⁿ (także w C”), nazywaną bazą standardową. Współrzędnymi wektora v = (tą, vz, . ■ ■, v_n) względem bazy standardowej są liczby tą, •••, v_n. (b) Pozostawiamy czytelnikowi sprawdzenie, że następujący ciąg wektorów

fi ⁼ (1, 0, 0, 0, ... ,0),    /₂ = (1, 1,0,0, ... ,0),    /₃ =    ( 1, 1, 1,0, ... ,0),    ...,    /„ = (1, 1, 1, ... ,1)

(1.43)

jest także bazą uporządkowaną w Rⁿ.