8941510976

Konspekt wykładów „AFiW”

(wydruk 27 października 2009 roku)

15

1.3.5 Menażeria przestrzeni wektorowych

Niżej opiszemy kilka często spotykanych przestrzeni wektorowych. Są one wszystkie, co warto podkreślić, podprzestrzeniami wektorowymi ^(R, K) — przestrzeni funkcji określonych na R i przyjmujących wartości w K.

Przykłady 1.3.2 (a) Przestrzeń funkcji wielomianowych stopnia < n. Przypomnijmy, ze funkcją wielomianową stopnia n w ciele liczb rzeczywistych R nazywamy funkcję postaci

R 3 t f(t) = f₀ + fit + f₂t² + ... + f„tⁿ = f_kt^k € R, gdzie /o, /i, • • • • /„ € R,    0.

Dla uproszczenia, choć nie w pełni ściśle, funkcje te będziemy nazywać wielomianami zmiennej t.

Rozważmy podzbiór V" [t] C ^"(R, R) złożony z wielomianów stopnia nie większego niż n — łatwo sprawdzić, ze kombinacja liniowa takich wielomianów jest znowu wielomianem stopnia nie większego niż n (zauważmy jednak, że stopień kombinacji liniowej może być mniejszy niż stopień każdego ze składników), a więc zbiór ten jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni ^"(R, R). Nazywamy ją przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia nie większego niż n i zazwyczaj traktujemy jako samodzielną przestrzeń wektorową.

Pozostawiamy czytelnikowi sprawdzenie (oparte na wykorzystaniu standardowych własności działań w ciele R), że suma dwóch wielomianów wyraża się za pomocą ich współczynników wzorem

/(i) + h(t) = f f_tt^h + f Mi* - fut + M)l*    (1.44)

fc=o    *=o    fc=o

Podobnie iloczyn wielomianu przez liczbę wyraża się wzorem

«/(*) = »(EA‘*)=i>A)<*    ^(L45)

Stąd wnioskujemy bez trudności, że

Pⁿ[t\ = lin{l, t, t², ..., tⁿ}    (1.46)

(b)    Przestrzeń funkcji wielomianowych (dowolnego stopnia). Niech

E= {1, t, t², ..., tⁿ, ...}    (1.47)

będzie zbiorem jednomianów wszystkich stopni zmiennej t. Oznaczmy V[t] = lin E — elementami V\t\ są, zgodnie z podaną wyżej definicją, wszystkie skończone kombinacje liniowe jednomianów zmiennej t, a więc funkcje wielomianowe dowolnego stopnia. Mamy tu prosty, ale bardzo ważny przykład przestrzeni wektorowej nieskończonego wymiaru.

Oba powyższe przykłady można rozszerzyć rozważając funkcje wielomianowe na R o współczynnikach zespolonych. Czytelnikowi pozostawimy sprawdzenie, że wszystkie wymienione wyżej fakty dotyczące działań na wielomianach pozostają prawdziwe.

(c)    Przestrzeń wielomianów trygonometrycznych stopnia < ra. Wielomianem trygonometrycznym stopnia n o współczynnikach z ciała R nazywamy funkcję R 9 t >—* w(t) € R, gdzie

w(t) = ao + ai sini + &i cos t + a.2 sin 2t + 62 cos 2t + ...+ a„ sin nt + b_n cos nt =    sin kt + ^ b_k coskt,

współczynniki ao, ai, 61, ..., a„, b_n € R oraz |a„| + |6„| / 0. Wielomiany trygonometryczne tworzą podprze-strzeń wektorową w -F(R, R), którą rozpinają funkcje

(1.48)

1, sinf, cos t, sin 2t, cos2t, ..., sin nt, cos nt.